Mar de Dirac

Fazer Ciência

Monthly Archives: Junho 2011

O que tenho andado a ler

Depois das sugestões de leitura e depois do que não li acho que está na hora de dizer o que de facto tenho andado a ler nos últimos tempos:

  1. Introduction to Quantum Mechanics
  2. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory
  3. Statistical Physics
  4. Classical Dynamics of Particles and Systems

Dentro em breve os resultados deste mistela estarão aqui disponíveis.

Anúncios

Ainda não li…

Sugestões de leitura

Lembrei-me da página How to be a GOOD theoretical physicist do Gerard ‘t Hooft que contém uma data de excelentes conselhos (não só) para aqueles que querem ser físicos teóricos e que têm um genuíno desejo de trabalhar para o ser.

No espírito desta página quero também deixar alguns recursos que considero serem úteis para todos aqueles que querem saber um pouco mais de Física:

  1. Mechanics and Special Relativity.
  2. Field Theory in Particle Physics.
  3. Introduction to Quantum Field Theory.
  4. Warren Siegel tem estes dois bons livros Fields e Introduction to string field theory.
  5. Quantum Field Theory pelo Mark Srednicki.

Infelizmente recursos de qualidade só os conheço em inglês mas se por acaso conhecerem bons recursos em português que estejam disponíveis na web é só dá-los a conhecer nos comentários.

E se esses recursos forem de outras áreas da Física melhor ainda!

Ps: Estas duas lecture notes sobre Física Quântica também são muito boas:

  1. Lecture Notes in Quantum Mechanics por Doron Cohen.
  2. Quantum Mechanics por Martin Plenio.

Medições em Mecânica Quântica

Ao perscrutar o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função {J(T,\nu)} derivada por Planck.

No que segue vou fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica e depois fazer uma exposição dos resultados desta nova experiência e quais as suas implicações para os Fundamentos da Mecânica Quântica.

— 1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente {E=J(T,\nu)}.

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de {J(T,\nu)}.

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, na verdade não era uma lei era mesmo um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era nada satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinha uma existência física real.

— 1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos Experimentais de Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

  • A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
  • A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
  • Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões. Para valores menores de frequência não se observava a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, um sinal de que novas ideias eram necessárias em Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tem um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética se emite e absorve discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

O que Einstein tinha feito era dar um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vou fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 2. Teoria Quântica —

Muito mais haveria a dizer sobre a história da Teoria Quântica, e acreditem que será mesmo, mas temos que fazer um fast forward neste post e ir directos ao que nos interessa.

A chamada primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

No contexto da revolução quântica que estava a ocorrer Schroedinger propôs a seguinte equação:

\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi (\vec{r},t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\Psi (\vec{r},t)

Se {\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\phi(t)} deduz-se que

\displaystyle E\psi (\vec{r})=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi (\vec{r})

desde que se identifique {\psi} seja uma função própria de {i\hbar\frac{\partial}{\partial t}} com valor próprio {E}.

Com esta equação é possível determinar, em princípio, a função {\psi} para vários tipos de potencial mas a interpretação {\psi} tem que ser obtida de outra forma.

Tal foi conseguido por Born que nos diz que {\psi} é uma amplitude de probabilidade. Quer isto dizer que se nós quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos a partícula quântica na posição {\vec{r}} esta é proporcional a {|\psi|^2}.

O que isto quer dizer é que fisicamente o que tem sentido é {|\psi|^2} e não {\psi}. Dito de outra forma: {\psi} não está acessível experimentalmente.

— 3. 2011 —

Passando para 2011 temos os seguintes resultados experimentais Direct measurement of the quantum wavefunction e Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer e segundo os abstract os resultados alcançados são os seguintes (as expressões em negrito devem-se a mim):

  • Direct measurement of the quantum wavefunction

The wavefunction is the complex distribution used to completely describe a quantum system, and is central to quantum theory. But despite its fundamental role, it is typically introduced as an abstract element of the theory with no explicit definition. Rather, physicists come to a working understanding of the wavefunction through its use to calculate measurement outcome probabilities by way of the Born rule. At present, the wavefunction is determined through tomographic methods which estimate the wavefunction most consistent with a diverse collection of measurements. The indirectness of these methods compounds the problem of defining the wavefunction. Here we show that the wavefunction can be measured directly by the sequential measurement of two complementary variables of the system. The crux of our method is that the first measurement is performed in a gentle way through weak measurement so as not to invalidate the second. The result is that the real and imaginary components of the wavefunction appear directly on our measurement apparatus. We give an experimental example by directly measuring the transverse spatial wavefunction of a single photon, a task not previously realized by any method. We show that the concept is universal, being applicable to other degrees of freedom of the photon, such as polarization or frequency, and to other quantum systems ? for example, electron spins, SQUIDs (superconducting quantum interference devices) and trapped ions. Consequently, this method gives the wavefunction a straightforward and general definition in terms of a specific set of experimental operations. We expect it to expand the range of quantum systems that can be characterized and to initiate new avenues in fundamental quantum theory.

 

  • Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer

    A consequence of the quantum mechanical uncertainty principle is that one may not discuss the path or ?trajectory? that a quantum particle takes, because any measurement of position irrevocably disturbs the momentum, and vice versa. Using weak measurements, however, it is possible to operationally define a set of trajectories for an ensemble of quantum particles. We sent single photons emitted by a quantum dot through a double-slit interferometer and reconstructed these trajectories by performing a weak measurement of the photon momentum, postselected according to the result of a strong measurement of photon position in a series of planes. The results provide an observationally grounded description of the propagation of subensembles of quantum particles in a two-slit interferometer.

    As frases a negrito não são uma contradição experimental aos preceitos teóricos da Teoria Quântica no entanto indicam que se calhar estamos prestes a ter que repensar certos aspectos relacionados com a interpretação da Teoria Quântica.

    O que estes investigadores fizeram foi medir propriedades complementares de um ensemble de sistemas quânticos (e atenção que estas medidas não são simultâneas!) através da técnica de weak measurement (uma referência menos técnica mas mais inexacta é weak measurement) e depois calcular as médias das propriedades que lhes interessavam.

    Assim sendo não existe nenhum ataque directo à interpretação ortodoxa da Mecânica Quântica, mas presumo que a discussão destes resultados irá resultar em coisas muito boas para a Física.

    Para mais informações sobre isto recomendo a leitura do seguinte post: Watching Photons Interfere: “Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer”

     

 

Sobre a Física de Aristóteles

Tal como digo na minha página de introdução ao longo dos meus posts neste blog tenciono falar um pouco sobre a história da Física e da Matemática. Neste contexto decidi reciclar um texto que escrevi na altura em que estava na faculdade para a disciplina de História das Ideias em Física.

O objectivo deste trabalho era apresentar na forma de diálogo uma síntese sobre a teoria de Aristóteles sobre a organização do Cosmos. Este texto que agora apresento é o que escrevi. Tem algumas gralhas e erros, mas na altura em que o escrevi gostei do resultado final.

Deixo-o então aqui, neste nosso humilde espaço, de modo a que possa ser útil a alguém e que sirva também como mote para outros posts.

— Diálogo sobre a Física de Aristóteles —

O sol alongava-se no céu tardio. Um homem de aspecto distinto era seguido por um grupo de jovens. Fala e gesticula em tom de conclusão e dá por terminada a lição. Excepto um todos os jovens dispersam. Avança e interpela o homem:

É a primeira lição sua que assisto e gostaria de melhor compreender as suas ideias sobre o que nos rodeia.

Pois bem, jovem; fala e veremos o que poderei fazer. Se me for possível ajudar conte comigo; caso contrário desde já as minhas desculpas… para mim o que nos rodeia é um Cosmos. Algo racional que pode ser compreendido e explicado de forma racional. É um Cosmos hierarquizado em que cada ser procura realizar a sua natureza. É finito e centrado na terra…

Mais porquê a terra? Porque não um outro astro qualquer?

Porque é lógico que assim seja. Tudo no Cosmos procura realizar a sua natureza não se esqueça disto: ser-nos-á útil mais a frente. Qual a coisa mais distante que pode ver?

As estrelas. Todas as noites lá estão elas a iluminar o seu nocturno.

Você mesmo disse! Todas as noites? e como sabe isso?

Já desde os registos mais antigos onde são compiladas que nada nelas muda…

Nada?! Tem a certeza? Pense lá bem.

…Tem razão. Nada excepto as posições que vão ocupando noite após noite. Movem-se como um todo de modo cíclico.

Recapitulando: desde sempre que nós vemos as mesmas estrelas executando ciclicamente os mesmos padrões nos céus? O estudante anuiu.  Então o que será mais razoável inferir sobre onde elas se encontram? O que será tão perfeito que lhes permita estar lá desde sempre a movimentarem-se tão regularmente?

Como já muitos o disseram, devem estar incrustadas numa superfície esférica. Mas por que é essa a configuração geométrica mais perfeita?

Em primeiro lugar porque todos os seus pontos estão a mesma distância do centro. Não tem começo ou fim, a sua ordem é a mesma do cosmos: é eterna.

Mas porquê que é a terra o centro do Cosmos?…

Paciência que já lá chegaremos. O Cosmos é hierarquizado. Mas qual será a sua hierarquia? Por acaso andaram misturados seres perfeitos com seres imperfeitos?

É óbvio que não!

Há bocado disseste que as estrelas são eternas e inalteráveis. Não serão esses os atributos do que é perfeito? A nossa volta só há corrupção, geração, mudança… será isto perfeito?

Não!

O que podemos concluir sobre esses dois mundos?

São radicalmente diferentes…

Acharias então natural que mundos tão diferentes fossem compostos do mesmo modo?

Não. De modo algum pode o que compõe o nosso mundo ser o que compõe as estrelas…

Até agora só falamos das estrelas, mas nos céus também há os planetas. Também eles lá estão desde sempre com os mesmo movimentos cíclicos. Pelo que já foi dito também eles são perfeitos. Assim como as estrelas, também os planetas são organizados nas suas esferas celestes.

Então se bem percebi, todas estas esferas são concêntricas, e a Lua deverá ser a primeira delas; a que marca a diferença entre o nosso mundo e o mundo celeste.

Isso mesmo! Da Lua em diante os corpos são compostos de um elemento especial que chamaremos de éter. Mas do que será composto o nosso mundo? Tal como Empédocles, eu digo que é composto por quatro elementos: terra, ar, fogo e água. Todos estes elementos estão agrupados nas suas esferas. A primeira é a esfera da terra, acima dela está a da água, mais acima está é do ar, e a última esfera do mundo a que chamaremos sub-lunar é a do fogo.

Mas da maneira como descreve o mundo sub-lunar ele deveria ser estático…

De facto deveria, se não fosse perturbado. Mas o movimento dos corpos celestes faz com que o fogo desça até as outras esferas misturando os elementos. É dessas perturbações e misturas que nasce a mudança no nosso mundo. Agora vamos concluir que a Terra é esférica: quando ocorrem eclipses lunares a sombra que a Terra projecta sobre a Lua é sempre curva. Do alto duma montanha vê-se mais longe que do seu sopé. E para finalizar: o facto de vermos estrelas diferentes consoante a nossa localização. Tudo isso nos diz que a Terra é esférica.

Sim… realmente basta saber um pouco de geometria para essa conclusão ser necessária.

Diga-me, como se comportará algo que é composto maioritariamente por terra quando for deixado por si só.

Mover-se-á naturalmente para o centro da esfera da terra.

Consoante a sua localização, o que ocorreria de diferente se largasse uma pedra?

Nada de diferente ocorreria. A pedra cairia sempre na vertical.

Ou seja: cairia sempre dirigida ao centro da Terra. Mas não disseste há bocado que algo composto maioritariamente por terra procuraria, quando deixado por si só, ir ao encontro do centro da esfera da terra? – O estudante anuiu.– Então o que concluis?

…Que os dois centros coincidem. Ou por outras palavras que o centro da Terra é o centro do Cosmos!!

Bravo! Mas podemos também concluir que forçosamente a Terra está em repouso. Caso a Terra se movesse as nuvens, as pedras, ficariam para trás ocupando os seus lugares nas suas esferas. Como não vemos tal a acontecer. a Terra não se move. Chamaremos a esse movimento vertical que referiste o movimento natural no mundo sub-lunar. No mundo supralunar o movimento natural ou é circular ou é o resultado da composição de movimentos circulares. Aos movimentos que não são naturais chamaremos violentos. Estes últimos só ocorrem no mundo sub-lunar e necessitam de um motor.

Tem razão! Basta olhar para o nosso mundo para ver que o movimento de todas as coisas quando deixadas por si só é vertical: pedras que caem, a chuva quando cai das nuvens, o fogo a ascender duma fogueira… Mas haverá algum tipo de lei que rega este movimento?

Tudo o que temos de fazer é raciocinar. Imaginemos dois corpos suspensos duma mesma altura, mas tendo pesos diferentes. O mais pesado tem um maior desejo a dirigir-se para o centro da Terra, como tal quando embater no solo, fá-lo-á com maior velocidade. Pensemos agora neste mesmo corpo a ser largado na água da mesma altura. Como a água é mais densa opõe uma maior resistência ao movimento e assim o corpo chegará ao fim do trajecto com uma velocidade menor.

Ou seja: a velocidade de um corpo, quando se move naturalmente, é directamente proporcional ao peso do corpo e inversamente proporcional à resistência do meio.

Bravo!! É isso mesmo!! Ou dito de modo equivalente: um corpo mais pesado largado da mesma altura que um mais leve chegará ao solo primeiro. E quanto mais resistente for o meio mais tempo levará o corpo a percorrer o trajecto.

Então, mestre, é aqui que a Matemática entra nas suas explicações?

Não! A Matemática não entra nas minhas explicações. Só a lógica o faz. A Matemática trata das formas puras e nosso mundo a forma aparece sempre associada a matéria. Esta como já vimos é impura. Se queremos conhecer o que nos rodeia não será a matematizar. Mas sim observando e usando a Razão. O que temos nós no mundo das formas que impeça a existência do vazio? Nada!! E no entanto no nosso mundo ele é absurdo. Qual seria a velocidade de um corpo no vazio?

O vazio, a existir, não oporia qualquer resistência ao movimento… Então a velocidade de um corpo seria infinita… Tal conceito é repugnante…

O vazio não existe. O espaço está sempre associado a matéria. Quando um finda também finda o outro…

Ah!! E por isso o Cosmos é finito! A matéria finda na estrela das fixas; então para lá dela não há espaço! Não faz sequer sentido em falar para lá dela!!

É isso mesmo! Infelizmente a conversa terá que ficar por aqui. É tarde e tenho muito há fazer. Adeus! Até a próxima!

Adeus mestre e obrigado!

A Lua vogava pelo céu estrelado. O aluno contemplava o céu maravilhado; não pelo espectáculo em si, mas porque sentia que começava a compreendê-lo.

%d bloggers like this: