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Fazer Ciência

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Tópicos de Física Moderna – Parte III

— 6. Introdução à Física Quântica —

Ao contrário do que fizemos nos capítulos anteriores este capítulo fará menção de algumas experiências que motivaram a formulação da Física Quântica. Para além disso as nossas formulações iniciais serão expostas de uma forma menos resumida.

— 6.1. Novos Resultados, Novas Concepções —

Qualquer pessoa que se tenha aproximado de um laboratório e teve que realizar uma experiência sabe que para se poder dizer algo sobre o sistema em estudo é sempre necessário interagir com o sistema. Em linguagem mais respeitável devemos dizer o acto de medição perturba sempre o sistema em estudo.

Para além disso temos também o conceito de estado mecânico. Ora o conceito de estado mecânico pressupõe duas coisas:

  1. A perturbação pode, em princípio (nalguns casos), tornar-se tão pequena quanto se queira. O facto de haver sempre limites é uma propriedade dos instrumentos que se utiliza e não da teoria que serve como base.
  2. Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. No entanto é sempre possível fazer um calculo exacto de quais os efeitos e desse modo é possível compensá-los.

Em suma a teoria que até agora desenvolvemos é causal e determinista.

No entanto uma das duas nuvens negras de Kelvin e mais uns quantos outros resultados experimentais mostraram que uma revisão dos conceitos clássicos era necessária:

  • Radiação de corpo negro.
  • Efeito fotoeléctrico.
  • Princípio da combinação de Ritz.
  • Existência e estabilidade de átomos.
  • Experiência de Stern-Gerlach.
  • Difracção de raios de electrões.

Estes resultados experimentais introduziram as seguintes quebras com o paradigma newtoniano:

  • Entidades que tinham uma natureza corpuscular demonstram um comportamento ondulatório.
  • Entidades que tinham uma natureza ondulatória demonstram um comportamento corpuscular.
  • Existe um carácter estatístico (que parece ser) essencial no comportamento da matéria.
  • O carácter atómico da matéria obriga a repensar a natureza do processo de medição: uma vez que existem grandezas cujo valor não pode ser arbitrariamente diminuído uma perturbação tem sempre um valor mínimo que não pode ser melhorado.

— 6.2. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 6.2.1. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura 3 mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

DuplaFendaParticulas

\caption{Experiência de dupla fenda com partículas}

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_1} enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_2}. A curva de probabilidades resultante {P_{12}} é simplesmente a soma das curvas {P_1} e {P_2}.

— 6.2.2. Duas Fendas e Ondas —

Como já tínhamos visto na secção 3 se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

DuplaFendaOndas

\caption{Experiência de dupla fenda com ondas}

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades {I_1} que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades {I_2} que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é {I_{12}=|h_1+h_2|^2= I_1+I_2+2I_1I_2 \cos \theta}. O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 6.2.3. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura 6. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

DuplaFendaElectroes

\caption{Experiência de dupla fenda com raios de electrões}

No caso dos electrões temos que novamente pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade {P_i} está associada uma amplitude de probabilidade {\phi_i}. Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade {P_i=\phi_i^2}. Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: {P_{12}=|\phi_1+\phi_2|^2}.

Notar que no parágrafo anterior tratamos o electrão como sendo sempre uma partícula, ainda que seja uma partícula com propriedades muito especiais, e nunca em momento algum o tratamos como sendo uma onda que interfere consigo mesma. Tal tratamento há muito tempo se sabe estar errado, mas, por questões que só podem ser de nostalgia, é frequente encontrá-lo em muitos livros.

— 6.3. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Após a discussão de alguns dos motivos que levaram os físicos a procurarem um novo paradigma que permitisse fazer sentido do que se passava a nível atómico está na altura de introduzir as nossas habituais definições iniciais.

Definição 40 O estado quântico é definido pela especificação das grandezas físicas relevantes e é representado por uma função que toma valores complexos {\Psi(x,t)}
Definição 41 O momento linear de uma partícula é representado pelo operador

\displaystyle p=\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{d}{dx} \ \ \ \ \ (34)

Definição 42 A energia de uma partícula é representada pelo operador

\displaystyle E=i\hbar\dfrac{d}{dt} \ \ \ \ \ (35)

Definição 43 Para uma partícula livre as seguintes equações são válidas:

{\begin{aligned} \label{eq:relacoesdebroglie} k &=& \frac{\hbar}{p}\\ \omega &=& \frac{E}{\hbar} \end{aligned}}

— 6.4. Axiomas da Física Quântica —

Os axiomas que aqui vamos apresentar não são os mais gerais nem os mais convenientes para um tratamento maduro da Física Quântica mas são tudo o que necessitamos para cumprir com o âmbito do curso.

Axioma 10 O estado de um sistemas quântico evolui segundo a equação de Schroedinger:

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \ \ \ \ \ (36)

Axioma 11 A probabilidade de que uma partícula seja encontrada no elemento de espaço {dx} denota-se por {P(x)dx} e é:

\displaystyle P(x)dx=|\Psi(x,t)|^2dx \ \ \ \ \ (37)

Axioma 12 Uma partícula quântica é sempre resultante de interferência construtiva.

A função deste axioma é captar de uma só vez a natureza dual do conceito de partícula em Física Quântica.

Axioma 13 O valor médio de uma grandeza física {A}, que se representa {\bar{A}}, é dado pela seguinte expressão:

\displaystyle \bar{A} = \int \Psi^*A\Psi \ \ \ \ \ (38)

Onde o integral se calcula na região relevante.

— 6.5. Ondas e Partículas —

— 6.5.4. Radiação de Corpo Negro —

Definição 44 Um corpo negro é um objecto que absorve toda a radiação electromagnética que nele incide.

Para explicar o espectro de radiação de um corpo negro Planck assumiu que a parede de uma cavidade era composta por ressoadores microscópicos que vibravam com frequências diferentes. Cada ressoador tinha a sua frequência própria {f} e devia emitir radiação com essa frequência e com qualquer valor de energia. No entanto Planck postulou que a energia de um ressoador só podia ser {E=nhf}. Ou seja que a radiação emitida ou absorvida no interior da cavidade só tomava valores discretos.

Com essa hipótese adicional Planck deduziu uma relação funcional entre a densidade de energia {u} o comprimento de onda da radiação {\lambda} (ou a sua frequência {\nu}) e a temperatura a que se encontra o interior da cavidade que se adequa aos dados experimentais:

{\begin{aligned} u(\lambda,T) & = & \frac{8\pi h c}{\lambda^5(e^{hc/(\lambda K_B T)}-1)}\\ u(\nu,T) & = & \frac{8\pi h \nu ^3}{\nu ^3(e^{h \nu/(K_B T)}-1)} \end{aligned}}

Recorrendo as equações 6 é possível demonstrar que a potência emitida por unidade de área, {e}, por um corpo negro é {e=\sigma T^4}.

Também é possível demonstrar que {\lambda T_{max}=k}. Sendo {k=2.898\times10^3\, \mathrm{mK}}

— 6.5.5. Efeito Fotoeléctrico —

Quando se faz incidir luz monocromática sobre uma superfície metálica observa-se que um certo número de electrões se liberta com uma energia muito bem definida. Para além disso sabemos também que existe uma frequência mínima que faz com que electrões se libertem da placa metálica e que o número de electrões libertados aumenta com o aumento da intensidade da luz mas a sua energia cinética não.

No contexto da teoria electromagnética da luz todos estes factos são inexplicáveis. No entanto se assumirmos que a luz se propaga em pacotes discretos de energia (isto é uma generalização enorme da hipótese de Planck que apenas assumiu que trocas de energia se davam de forma discreta) e que estes pacotes de energia são da forma {E=hf} o efeito fotoeléctrico é prontamente explicado.

A energia cinética dos electrões libertados é dada pela expressão {K=hf-\phi} onde {\phi} representa a energia de ligação dos electrões à placa metálica.

— 6.5.6. Átomo de Bohr —

A existência de átomos é segundo o electromagnetismo um acontecimento impossível. Segundo o electromagnetismo partículas carregadas em movimento acelerado deveriam emitir radiação continuamente.

Uma vez que os electrões orbitam em torno do núcleo o seu movimento é claramente acelerado. Assim sendo os electrões deveriam radiar energia continuamente fazendo com que a sua distância ao núcleo fosse cada vez menor até colidirem com o núcleo. Tal, obviamente, não é o que acontece.

Postulando que os electrões só podem orbitar em torno do núcleos em certas trajectórias( recorrendo ao Axioma 12 podemos demonstrar que nestas trajectórias o momento angular do electrão está restringido a ter valores discretos) podemos explicar a estabilidade dos átomos e prever certos fenómenos que sabemos ocorrer ao nível atómico.

Estes estados do electrão em que ele não pode emitir radiação chamam-se estados estacionários. Para transitar de um estado estacionário para outro estado estacionário o electrão deve emitir ou absorver um fotão e a energia deste fotão deve igualar a diferença de energia entre os estados estacionários.

\displaystyle E_i - E_f = hf \ \ \ \ \ (39)

\displaystyle m_e v r = n\hbar \ \ \ \ \ (40)

Com estas duas equações é possível prever que os raios permitidos dos electrões são da forma:

\displaystyle r_n= \frac{n^2 \hbar ^2}{m_e k e^2} \ \ \ \ \ (41)

Tomando {n=1} temos o raio menor raio possível (o raio de Bohr) que se denota por {a_0}.

E que as energias permitidas são da forma

\displaystyle E_n= - \frac{ke^2}{2a_0 n^2} \ \ \ \ \ (42)

Utilizando as equações 39 e 42 podemos calcular o comprimento de onda do fotão que permite a transição entre estados estacionários

\displaystyle \frac{1}{\lambda}= \frac{ke^2}{2a_0 h c}\left( \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} \right) \ \ \ \ \ (43)

A teoria do átomo de hidrogénio de Bohr também permite explicar o espectro de energia de alguns átomos ionizados.

— 6.5.7. Relação de Incerteza de Heisenberg —

O Axioma 12 diz-nos que para construirmos uma partícula devemos ter um interferência construtiva de ondas. Uma onda é algo que tem uma extensão infinita enquanto que uma partícula não poderia ter uma dimensão mais finita. De modo a obtermos uma partícula através da soma de ondas devemos então somar várias ondas de modo a que a sua soma seja diferente de 0 apenas numa região muito pequena do espaço. Em geral o número de ondas necessário será elevado.

Como cada onda tem o sua comprimento de onda, uma soma de um número elevado de ondas faz com que a partícula resultante tenha um comprimento de onda muito incerto

No limite de somarmos um número infinito de ondas chegamos à situação em que temos uma partícula perfeitamente localizada mas que tem um comprimento de onda totalmente incerto.

Por outra lado se tivermos uma só onda o seu comprimento de onda é totalmente certo e uma vez que uma onda tem uma extensão espacial infinita a sua posição é totalmente incerta.

Vemos que existe uma relação de proporcionalidade inversa entre a dispersão de uma partícula relativamente à sua posição e a dispersão de uma partícula relativamente ao seu comprimento de onda.

Fisicamente a quantidade de interesse é o momento linear e o seguinte resultado é válido:

\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (44)

que é a relação de incerteza de Heisenberg. {\Delta x} é a dispersão relativamente à posição da partícula e {\Delta p} é a dispersão relativamente ao momento linear da partícula.

É também possível provar com toda a generalidade que para a o tempo necessário para a transição de energia e para a energia transferida vale uma desigualdade análoga.

\displaystyle \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (45)

— 7. Aplicações da Equação de Schroedinger —

Neste capítulo vamos dar uso ao Axioma 10. Este axioma indica como varia um estado quântico ao longo do tempo e é vital para que possamos compreender a dinâmica a nível atómico.

De notar que o Axioma 10 é uma equação diferencial e como tal a teoria assim construída é determinista.

De acordo com o Axioma 11 A probabilidade de encontrar uma partícula no elemento de espaço {dx} é {| \Psi(x,t) |^2dx}. Assim sendo a probabilidade encontrar a partícula num intervalo { \left[ a,b \right]} é {\displaystyle \int_a^b | \Psi(x,t) |^2dx}.

Uma vez que a equação do Axioma 10 é uma equação linear sabemos que se {\Psi} é solução da equação de Schroedinger também {A\Psi} é uma solução da equação de Schroedinger.

Por outro lado temos que ter necessariamente

\displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^\infty | \Psi(x,t) |^2dx=1 \ \ \ \ \ (46)

Deste modo a constante complexa {A} fica fixada a menos de um factor de fase. Uma vez que este factor de fase é irrelevante no contexto deste curso a condição 46 efectivamente faz com que a nossa solução de Schroedinger tenha uma solução única.

De modo a simplificar a nossa discussão vamos supor que {\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)}. Deste modo em vez da equação {\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}} que é equação à derivadas parciais temos:

   $latex i\hbar\frac{d\phi}{dt} &=& E\phi &fg=000000$

   $latex -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+U(x)\psi &=& E\psi &fg=000000$

Que são duas equações diferenciais ordinárias.

Da primeira equação vem que a dependência temporal da função de onda é {\phi(t)=e^{-i\omega t}}. A segunda equação é conhecida como a equação de Schroedinger independente do tempo e é sobre ela que nos vamos debruçar nas secções seguintes.

— 7.1. Poço de Potencial Infinito —

pocopotencialinfinito

Apesar de esta situação ser bastante artificial a nível físico a sua componente didáctica é bastante elevada e convém ser estudado de modo a que possamos entender exemplos que tenha alguma relevância física.

Nesta situação a partícula desloca-se ao longo de um comprimento {L} onde não sofre a influência de nenhuma energia potencial. Mas ao chegar as extremidades do comprimento temos {U(0)=U(L)=+\infty}. Que é um potencial infinitamente repulsivo.

Para {x>L} ou {x<0} é obviamente {\psi(x)=0}.

Dentro da região onde o movimento é permitido temos {\psi(x)=A\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)}. Solução que nos diz que os valores de energia que a partícula pode ter não mais fazem parte de um intervalo contínuo mas que passam a ser valores discretos.

funcoesondapocopotencialinfinito

— 7.2. Poço de Potencial Finito —

pocopotencialfinito

Uma situação mais realista é dizermos que uma partícula se desloca ao longo de uma região onde não está sujeita a nenhuma energia potencial e que nas extremidades desta região encontra um potencial {U(0)=U(L)=c}. Um potencial que é repulsivo mas finito.

Se assumirmos que {E<U} ou seja que a energia da partícula é inferior à energia potencial repulsiva vemos que as soluções de 7 permitem uma probabilidade não nula de encontrar a partícula fora da região onde estava inicialmente confinada.

funcoesondapocopotencialfinito

— 7.3. Oscilador Harmónico —

Para oscilações pequenas em torno de um ponto de equilíbrio sabemos que qualquer função de energia potencial pode ser aproximada por uma função quadrática. Assim a dinâmica resultante para partículas que tenham pequenos deslocamentos em torno de uma posição de equilíbrio é em primeira aproximação a dinâmica de um movimento harmónico.

Para o oscilador harmónico a equação de Schroedinger é

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2 \psi}{d x^2}+\frac{1}{2}m\omega x^2\psi= E\frac{d \psi}{d t}

Não iremos resolver esta equação de forma exacta mas por argumentos heurísticos vamos propor uma solução possível para o estado fundamental.

Pelos exemplos anteriores vimos que no estado fundamental a função de onda nunca tomava o valor 0 mas aproximava-se dele assintoticamente. Vimos também que as soluções por nós encontradas reflectiam a simetria da energia potencial.

Assim sendo esperamos que o mesmo aconteça neste caso. Uma possível solução será então uma função da forma { \psi(x)=C_0e^{-\alpha x^2}}

Substituindo esta função na equação de Schroedinger vemos que { \alpha=\dfrac{m \omega}{2 \hbar}} e que { E=1/2\hbar\omega }. O que mostra que a energia de um oscilador harmónico quântico no estado fundamental não é zero.

É possível demonstrar que {E_n=(n+1/2)\hbar\omega}

— Bibliografia —

  • Physics for Scientists and Engineers 6th Edition R. A. Serway, J. W. Jewett
  • Modern Physics 3rd Edition R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer
  • The Evolution of Physics A. Einstein, L. Infeld
  • Física Atómica 4ª edição Max Born
  • The Feynman Lectures on Physics Feynman, Leighton , Sands
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Teoria das Cordas – Noções, cronologia, interpretações

Em 1968, o jovem físico Gabriele Veneziano começou por procurar um conjunto de equações que explicassem a Força Nuclear Forte, a força extremamente poderosa que une o núcleo de todos os átomos, juntando protões com neutrões.

Reza a história que enquanto vasculhava num livro de História da Matemática, Veneziano constatou no mesmo uma equação com 200 anos de Leonhard Euler, um fisico suiço, que havia se deparado com várias curiosidades matemáticas no passado, poderia agora enquadrar-se com a força nuclear forte. Veneziano publicou de imediato a sua tese, “The Gamma Function”, baseada nesta descoberta “acidental”, tornando-se conhecido desde então pela comunidade. Embora existam vários rumores de como foi descoberta esta tese, que miraculosamente descrevia a força nuclear forte, rapidamente  tomou vida própria.

Assistiamos assim, ao nascimento da Teoria das Cordas.

Partilhada por vários fisicos, a equação de Euler chegou então a Leonard Susskind, um fisico americano, que ficou fascinado pela possivel interpretação de algo novo e desconhecido. Incessantemente, Leonard investigou durante meses a possibilidade de descrever uma nova particula, com estrutura interna própria, que podia se alterar, como uma corda que vibrava, esticava, em vez de uma particula estática. Susskind comprovou que esta nova interpretação era perfeitamente compativel com a equação de Euler.

O nome “Teoria das Cordas” nasceu.

Mas esta teoria foi mais longe. As suas implicações seriam revolucionárias na concepção do Universo, uma mudança dramática na Física, prometendo a resolução entre vários paradigmas anteriores como a integração da gravidade em mecânica quântica, a previsão de várias particulas com características surpreendentes, uma nova noção de espaço, energia e comportamento sub-atómico.  Uma nova esperança brutara para reacender o sonho que ocupou obsessivamente Albert Einstein nos seus últimos anos de vida…uma teoria elegante para a unificação das forças, uma teoria do “Tudo”.

No entanto, na comunidade cientifica, a Teoria das Cordas vivia na sombra do modelo padrão concebido anteriormente. Considerada elegante e ousada,mas longe de ponderada com seriedade , como se nada tivesse a ver com a Natureza. Os seus pioneiros estavam convencidos que conseguiam “cheirar” a realidade e continuar nos seus avanços. Mas quanto mais se entregavam à teoria, mais problemas eram descobertos…  Existiam vários, na verdade. Por exemplo:

– A previsão de uma nova particula que sabemos não ser física, a qual chamamos de “taquião” (tachyon), podendo viajar mais rápido que a luz;

– A sugestão que poderão exisitir 10 dimensões, o que é bastante surreal uma vez que é óbvio que são mais do que as existentes;

– A previsão de uma particula sem massa, que não era detectável em experiências laboratoriais.

Logo, todos estes novos progressos não pareciam de todo exequíveis, deprovidos de qualquer sentido lógico, eventualmente soavam a ideias loucas. De tal forma, que muitas vezes era assumido como absurdo e ignorado.

Em 1973, apenas alguns jovens físicos lutavam com as obscuras equações da teoria das cordas. John Henry Shcwarz, físico norte-americano, deparava-se ainda com os inúmeros problemas da teoria, entre eles a misteriosa particula sem massa prevista mas nunca detectada na Natureza e um conjunto de inconsistências matemáticas / anomalias. Schwarz tentou remoldar, redefinir a teoria, ajusta-la, mas sem sucesso. Prestes a abandonar a sua investigação, uma nova perspectiva surgiu em mente, uma ideia remota baseada na hipotética possiblidade que as equações estivessem a descrever a gravidade. Mas isso significaria que teriamos que considerar o tamanho destas cordas de energia. Este foi de longe um passo de gigante. Até conceber a hipótese que estariamos a lidar com uma teoria da gravidade, as interpretações retiradas eram insuficientes e inconsistentes. Ao considerar que as cordas seriam de um comprimento Planck (10−35 m), esta particula ilusiva que Schwarz perseguira, aparentava ser um gravitão (graviton “G”), acreditada como responsável por transmitir gravidade a nivel quântico.

A Teoria das Cordas apresentava agora a peça que faltava no puzzle do modelo padrão.

Schwarz publicou a sua tese onde descrevia como a gravidade funciona a nivel sub-atómico, mas embora parecesse incontestável, a sua publicação não obteve qualquer reacção na comunidade cientifica. Mais uma vez, a teoria das cordas caia por terra… Schwarz não se declarou derrotado, pois defendia que se as cordas descreviam a gravidade a nivel quântico, deviam ser a chave para unir as quatro forças da Física. Um dos únicos cientistas dispostos a arriscar a sua carreira como físico nesta demanda, Michael B. Greene, aliou-se a Shwarz. Esta aliança motivada teria que confrontar o facto que durante os anos ’80, a teoria das cordas possuia falhas drásticas na matemática, conhecidas como anomalias. Uma anomalia é uma incosistência matemática, algo que não se suporta em cálculo, algo que se descreve estranho ou deslocado. Vejamos o exemplo:

– Considerando que temos duas equações que descrevem a realidade: 2x=2 e x/2=1

Obtendo na 1º equação x=1; na 2ª equação x=2, deparamo-nos com uma anomalia, porque sabemos que só pode haver um valor para x. A menos que possa redefinir as duas equações, obtendo o mesmo valor de x, a teoria desaba por sí.

O mesmo aconteceu com a teoria das cordas, nos anos 80. Enfrentando anomalias parecidas com o exemplo acima descrito, embora muito mais complexas, a sua refinação era lenta. Em concreto anomalias com integração da teoria da gravidade e a teoria de Yang-Mills.

Em 1984, Shwarz e Greene conseguiram demistificar as anomalias, chegando a um resultado conclusivo e auto-sustentável matematicamente, considerando agora a possiblidade de descrever a união das forças da Física, o sonho de Einstein, banstante alcansável. A sua publicação foi desta vez feita com algum ceptismo perante a comunidade, a dupla aliada já não acreditara que se criasse algum impacto substancial. Mas a história provou-os errados. O impacto foi chocante e avassalador. Em apenas alguns meses, o número de físicos e cientistas aumentou exponencialmente, de apenas um pequeno grupo para mlihares de aficionados e fascinados por todo o mundo. Esta nova versão da teoria das cordas aparentava descrever com sucesso tudo o que vemos na Natureza, de forma sustentada e coerente. Em cada grão de areia estão biliões de átomos, cada átomo é formado por electrões orbitrando um nucleo formado por protões e neutrões, compostos por pedaços mais pequenos de matéria chamados “quarks”.

Mas a teoria das cordas afirma espantosamente que as particulas que constituem tudo no Universo são compostas por ingredientes ainda mais pequenos… fios vibrantes de energia  que se parecem com cordas. Cada uma destas cordas é inimaginavelmente pequena, aliás se um átomo fosse do tamanho do sistema solar, uma corda seria tão grande como carro familiar.

A ideia elegante desta teoria sugere que tal como uma corda de violino emite uma frequência diferente, produzindo assim o que ouvimos como diferentes notas musicais, as cordas vibram variavelmente produzindo propriedades unicas às particulas, como massa e carga energética. De um ponto de vista quotidiano, esta concepção quase romântica, indica que a diferença entre as particulas que formam o ser humano, de um carro, um cão ou as particulas que transmitem a gravidade, consiste na forma como estas cordas vibram. Composto por estas cordas que oscilam vibrações diferentes, o Universo pode ser visto como uma grande sinfonia cósmica, juntando pacificamente as duas perspectivas de um universo quântico sub-atómico, e um universo relativista vasto, unindo todas as forças e toda a matéria.

Mas esta encantadora teoria, possui ainda um ponto fraco…

Nenhuma experiência poderá ser realizada para comprovar empiricamente a teoria, considerando as distâncias relativistas de um universo infinitamente vasto. Nenhuma observação pode ser feita num universo sub-atómico, para relacionar sob forma de prova a conclusão. O que, ironicamente, serve também o argumento: Não existe nenhuma experiência ou observação possível (considerando a tecnologia humana num futuro próximo) que prove inconstestavelmente que a teoria das cordas está errada. A teoria está salva, permanentemente. A pergunta que surge de imediato é: É uma teoria da Física ou uma filosofia?

Não nos esqueçamos de que para funcionar, a teoria das cordas necessita de mais dimensões, algo que parece tirado de um filme de ficção cientifica. Mais dimensões de… espaço. Para que os físicos integrados nesta teoria fossem reconhecidos e acompanhados, teriam que explicar inexoravelmente como esta afirmação podia ser aplicada. Curiosamente, a ideia estranha de que existem mais dimensões nasceu quase há um século. Em 1919, um quase desconhecido matemático alemão chamado Theodor Franz Kaluza, teve a coragem de desafiar o óbvio. Kaluza sugerira que talvez o nosso Universo teria mais uma dimensão, que por alguma razão não fosse visível. O matemático alemão partilhou a sua ideia com Albert Einstein, e embora Einstein estivesse inicialmente entusiasmado com a proposta, permaneceu reticente 2 anos, até à sua publicação. A ideia numa forma simplista consiste no principio de Einstein, publicado em 1916, que prova que a gravidade não é mais que tecido maleável, compropriedades especificas no espaço, em 3 dimensões de espaço e 1 dimensão de tempo.

3 anos depois Kaluza propôs que o electromagnetismo também poderia partilhar das propriedades da gravidade. Mas para ser verdade, Kaluza necessitava de um espaço onde esse tecido pudesse ser moldado. Então, Kaluza sugere uma dimensão adicional, escondida de observação possivel. Interessado no trabalho de Kaluza, o físico sueco Oskar Klein uniu-se na investigação e ambos declaram uma resposta pouco ortodoxa: o tecido do nosso universo pode ter as dimensões concebidas (3+1) mas também dimensões circulares mais pequenas, mesmo a nivel quântico. Para ilustrar esta noção temos que utilizar uma outra perspectiva, eis um exemplo: Considerem um donut em cima de um prato na mesa. Observado a 5 metros ao nivel da mesa, tudo o que vemos é uma forma meio rectangular creme, numa dimensão apenas. Uma formiga que passe por cima da mesa pode caminhar para cima e baixo do donut, trás e frente, para os lados mas também circular em redor do doce . A formiga têm uma percepção bastante diferente que a nossa baseada numa dimensão apenas.

Kaluza e Klein sugeriram então, resumidamente, que o universo pode ser constituido de dimensões amplas, vastas, mais abrangentes, mas também por dimensões mais pequenas, indetectáveis pela nossa percepção, a nivel sub-atómico, onde tal como uma formiga circulando um donut, as particulas poderiam vaguear nestas dimensões.

Para que a teoria das cordas seja processada com sucesso, a matemática e cálculo exigem mais dimensões de espaço que nos rodeam. Exactamente iguais às dimensões que conseguimos ver, apenas diferentes na sua forma. “Forma” é de acordo com a teoria das cordas a pedra basilar. Na sua interpretação, estas dimensões adicionais indicam que pela sua forma particular, ajustam o tecido do próprio espaço.  De acordo com a previsão, se pudessemos encolher por forma a navegar por estas dimensões, veriamos que estas dimensões influenciam o comportamento das cordas, condicionando a sua frequência e como vibram, criando assim as particulas fundamentais do universo. É certo que as equações que demonstram este curto parágrafo são bastante complexas, abismais diria. Tanto que as melhores mentes confrontadas com as implicações da teoria das cordas até aos anos 90, encontravam alguma resistência ou atrito na sua interpretação/resolução (ainda hoje). Mas algures no processo de desvendar peça a peça o quebra-cabeças, os físicos envolvidos foram longe demais. Foram derivadas por concepções semelhantes, 5 teorias das cordas diferentes, cada uma delas competindo pelo titulo “Teoria de Tudo”. Se por um lado existia algum contentamento por 1 das 5 teorias das cordas ser o possivel candidato vencedor, a pergunta mais evidente levantava a constatação do óbvio: Porque existem 5?!

As 5 teorias tinham muitos aspectos em comum, todas envolviam cordas vibrantes, mas os seus detalhes matemáticos e demonstração prática eram completamente distintos. Forçosamente uma teoria que explique tudo não poderá ter 5 visões diferentes. Em 1995, Edward Witten, fisico e matemático único (provavelmente uma das melhores mentes desde Einstein), convocou fisicos de todo o mundo para uma palestra na Universidade da Califórnia do Sul, que viria a chocar toda a comunidade cientifica. Witten estara interessado nas 5 teorias das cordas, decidido a deixar o seu contributo estabeleceu que a existência de várias teorias das cordas era insustentável, estando determinado a eliminá-las. A resolução do paradigma chegou através de uma nova forma surpreendente e radical, que Witten apressou comunicando aos seus colegas que encontrara a solução para todas as teorias das cordas, tinha resolvido o problema de todas as dimensões e iria anunciar publicamente durante a palestra. A intervenção de Witten não podia ter sido mais forte, de uma forma súbtil e elegante, mudou a perspectiva de interpretação das 5 teorias das cordas, considerando que embora diferentes entre si, todas elas reflectiam uma única teoria, em diferentes espectros e ângulos. Edward Witten foi o responsável por unificar a teoria unificadora de todas as forças. Dificilmente existirá outra ironia igual na Física.

Esta nova teoria unificada por Edward Witten ganhou um nome baptizado pelo próprio: M-Theory.

Embora niguém saiba o que na realidade quer dizer “M”, quer-me parecer que “M” seja um “W” invertido de “Witten”. Muitos partilham desta opinião.

Na emergente saga que se seguiu à publicação de Witten e a sua M-Theory, a teoria das cordas estava oficialmente visada para uma aplicação global no entendimento fundamental da Fisica. Mas existia um preço a pagar… As 5 teorias das cordas necessitavam de 10 dimensões no seu âmago: 1 tempo e 3 espaço + 6 espaço completamente invisivéis. Só desta forma poderiam ser sustentáveis. A M-Theory foi um pouco mais longe, acrescentando mais um dimensão, num total de 11 dimensões. O principio assenta no facto que as dimensões estão relacionadas forcosamente  com as direcções que se podem tomar, por vezes chamadas de graus de liberdade. Quanto mais dimensões ou graus de liberdade temos, mais direcções podemos tomar. Se consideramos 11 dimensões, as cordas previstas na teoria podem consequentemente fazer muito mais. A dimensão que Witten acrescentou radicaliza a interpretação das cordas. De destacar a concepção que permite que as cordas estiquem, formando algo como uma membrana, vulgarmente abreviado entre a comunidade de “brane” (mem-brane). Uma brane pode ter 3 dimensões ou mesmo mais, e com energia suficiente podem crescer até um tamanho astronómico, talvez tão grande como um universo. Tal perspectiva foi uma revolução na teoria das cordas e para os fisicos intervenientes. Tanto que actualmente, continua apelidada de teoria das cordas, mas considerando a existência de branes há quem hesite considerar que se trate de cordas apenas. A ponderação na existência de membranas e dimensões adicionais é tão profunda nesta teoria que a forma como podemos ilustrar o nosso universo dentro de uma membrana (brane) pode implicar interpretações ainda mais radicais, como multiplos universos, cada um com uma brane, criando a sua própria matéria e particulas, as suas próprias Leis da Fisica. Chegamos assim a um novo paradigma de universos paralelos, ou melhor, a um multiverso. Esta ideia é poderosa, porque se de facto for correcta, significa que a nossa ideia de universo está ofuscada pelo facto de estarmos confinados a uma porção de um universo com mais dimensões, sem conseguirmos alcançar novos horizontes. Esta ideia é forte porque lida mais uma vez com a gravidade.

Enquanto força, a gravidade é menor que qualquer outra força da Física. Derrotamos a gravidade exercida pelo planeta Terra na maçã de Newton, levantando apenas com a força do nosso braço. Uma grua com braço magnético levanta com facilidade um veiculo do chão. Embora a força electromagnética seja mais forte que a força da gravidade (na verdade 1039 vezes mais forte)  funciona de forma diferente. Esta discrepância na fraqueza da força da gravidade sempre foi alvo de inquérito pela Física, porém neste mundo radical da teoria das cordas, levanta-se um novo modo de abordar o problema. Uma das formas de responder porque é a força da gravidade tão fraca comparada com as restantes forças, passa por reformular a pergunta em si, no sentido em que não é mais fraca que as restantes, apenas aparenta ser. Esta questão é hipotética mas existe a possiblidade de a força da gravidade ser tão forte como a electromagnética mas por algum motivo não conseguimos sentir a sua força. Integrando a teoria das cordas neste paradigma, podemos equacionar o facto de que a gravidade pode não estar restrita a uma membrana, podendo dissipar-se da nossa parte do universo.

Mais uma vez a resposta reside na “forma” das cordas. Até meados dos anos 90, a ideia generalizada relativa à forma das cordas vibrantes consistia num loop, algo como um elástico, imagem ilustrada por Susskind. Depois da introdução da M-Theory as possibilidades apontam para uma outra forma coexistente, uma corda onde as suas extremidades estão presas a um universo tridimensional, provocando assim toda a matéria existente.  Mas as formas fechadas sem extremidades não são contestadas, são mantidas como ilustração possivel. Não tendo extremidades, consideram-se  livres de escapar por entre as 11 dimensões. Este método ilustrativo (numa forma resumida e básica) explica a previsão inerente na teoria das cordas para a existência do gravitão (graviton), responsável pela força da gravidade. Desta forma, devido ao seu grau de liberdade entre dimensões, a força da gravidade pode de facto ser iludida.

Estes pontos puramente teoréticos, levantam a questão pertinente  fomentada na hipótese de vivermos numa membrana, num universo integrado num multiverso. Podemos nunca sair deste universo mas talvez possamos sentir a gravidade do nosso universo paralelo vizinho?

Na maior máquina alguma vez criada pelo Homem, o Large Hadron Collider, procedem-se a testes na aceleração de particulas a uma velocidade prómixa da luz, colidindo directamente as particulas e examinando o embate através de longas listagens de dados recolhidos. Tal esforço e investimento comprometidos contribuiram para centenas de novas particulas detectadas,incluindo uma particula bastante semelhante ao bosão Higgs (99,999999% semelhante)  também previsto pela teoria das cordas;  novas reformas essenciais na área da investigação experimental e laboratorial; mudanças dramáticas na estrutura da Física actual.  A prova da existência do gravitão prevista na teoria das cordas continua um mistério, mas é encarado como um trabalho em progresso e uma experiência de alto significado para a realização não apenas da teoria das cordas, como para toda a Ciência e conhecimento do universo.

Por mais promissora que seja a Teoria das Cordas, ainda se considera incerta, num estado embrionário, digamos. Muitos físicos ponderam se as suas investigações e cálculos são produto de uma matemática fantasiada ou descrevem em concreto o mundo real.

Porque apesar de todos estes significativos avanços e contributos, prestados pelas melhores mentes da Física actual, tudo se resume a comprovar pelo método de obervação e experimental. Algo que se recusa a acontecer com menos intensidade que a ansiedade de quem se apaixona por esta teoria.

Mecânica Quântica

Uma lecture de Sidney Coleman sobre Mecânica Quântica, sem tempo para disparates e baboseiras.

Quantum Mechanics in your face.

Mesmo que não se concorde com tudo o que o Coleman diz é um prazer presenciar a clareza com que ele introduz os conceitos e desenvolve as suas consequências lógicas.

Medições em Mecânica Quântica

Ao perscrutar o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função {J(T,\nu)} derivada por Planck.

No que segue vou fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica e depois fazer uma exposição dos resultados desta nova experiência e quais as suas implicações para os Fundamentos da Mecânica Quântica.

— 1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente {E=J(T,\nu)}.

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de {J(T,\nu)}.

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, na verdade não era uma lei era mesmo um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era nada satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinha uma existência física real.

— 1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos Experimentais de Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

  • A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
  • A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
  • Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões. Para valores menores de frequência não se observava a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, um sinal de que novas ideias eram necessárias em Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tem um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética se emite e absorve discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

O que Einstein tinha feito era dar um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vou fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 2. Teoria Quântica —

Muito mais haveria a dizer sobre a história da Teoria Quântica, e acreditem que será mesmo, mas temos que fazer um fast forward neste post e ir directos ao que nos interessa.

A chamada primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

No contexto da revolução quântica que estava a ocorrer Schroedinger propôs a seguinte equação:

\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi (\vec{r},t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\Psi (\vec{r},t)

Se {\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\phi(t)} deduz-se que

\displaystyle E\psi (\vec{r})=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi (\vec{r})

desde que se identifique {\psi} seja uma função própria de {i\hbar\frac{\partial}{\partial t}} com valor próprio {E}.

Com esta equação é possível determinar, em princípio, a função {\psi} para vários tipos de potencial mas a interpretação {\psi} tem que ser obtida de outra forma.

Tal foi conseguido por Born que nos diz que {\psi} é uma amplitude de probabilidade. Quer isto dizer que se nós quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos a partícula quântica na posição {\vec{r}} esta é proporcional a {|\psi|^2}.

O que isto quer dizer é que fisicamente o que tem sentido é {|\psi|^2} e não {\psi}. Dito de outra forma: {\psi} não está acessível experimentalmente.

— 3. 2011 —

Passando para 2011 temos os seguintes resultados experimentais Direct measurement of the quantum wavefunction e Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer e segundo os abstract os resultados alcançados são os seguintes (as expressões em negrito devem-se a mim):

  • Direct measurement of the quantum wavefunction

The wavefunction is the complex distribution used to completely describe a quantum system, and is central to quantum theory. But despite its fundamental role, it is typically introduced as an abstract element of the theory with no explicit definition. Rather, physicists come to a working understanding of the wavefunction through its use to calculate measurement outcome probabilities by way of the Born rule. At present, the wavefunction is determined through tomographic methods which estimate the wavefunction most consistent with a diverse collection of measurements. The indirectness of these methods compounds the problem of defining the wavefunction. Here we show that the wavefunction can be measured directly by the sequential measurement of two complementary variables of the system. The crux of our method is that the first measurement is performed in a gentle way through weak measurement so as not to invalidate the second. The result is that the real and imaginary components of the wavefunction appear directly on our measurement apparatus. We give an experimental example by directly measuring the transverse spatial wavefunction of a single photon, a task not previously realized by any method. We show that the concept is universal, being applicable to other degrees of freedom of the photon, such as polarization or frequency, and to other quantum systems ? for example, electron spins, SQUIDs (superconducting quantum interference devices) and trapped ions. Consequently, this method gives the wavefunction a straightforward and general definition in terms of a specific set of experimental operations. We expect it to expand the range of quantum systems that can be characterized and to initiate new avenues in fundamental quantum theory.

 

  • Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer

    A consequence of the quantum mechanical uncertainty principle is that one may not discuss the path or ?trajectory? that a quantum particle takes, because any measurement of position irrevocably disturbs the momentum, and vice versa. Using weak measurements, however, it is possible to operationally define a set of trajectories for an ensemble of quantum particles. We sent single photons emitted by a quantum dot through a double-slit interferometer and reconstructed these trajectories by performing a weak measurement of the photon momentum, postselected according to the result of a strong measurement of photon position in a series of planes. The results provide an observationally grounded description of the propagation of subensembles of quantum particles in a two-slit interferometer.

    As frases a negrito não são uma contradição experimental aos preceitos teóricos da Teoria Quântica no entanto indicam que se calhar estamos prestes a ter que repensar certos aspectos relacionados com a interpretação da Teoria Quântica.

    O que estes investigadores fizeram foi medir propriedades complementares de um ensemble de sistemas quânticos (e atenção que estas medidas não são simultâneas!) através da técnica de weak measurement (uma referência menos técnica mas mais inexacta é weak measurement) e depois calcular as médias das propriedades que lhes interessavam.

    Assim sendo não existe nenhum ataque directo à interpretação ortodoxa da Mecânica Quântica, mas presumo que a discussão destes resultados irá resultar em coisas muito boas para a Física.

    Para mais informações sobre isto recomendo a leitura do seguinte post: Watching Photons Interfere: “Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer”

     

 

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