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Tópicos de Física Moderna – Parte II

— 3. Oscilações e Ondas —

Neste capítulo vamos introduzir algumas noções relacionadas com o movimento ondulatório em geral. Vamos também ver dois fenómenos que no contexto da mecânica clássica só podem ser explicados recorrendo ao conceito de onda.

As ondas e as oscilações são casos particulares de movimento oscilatório e como tal há conceitos básicos que são comuns aos dois tipo de fenómenos:

Definição 18

Período é o intervalo de tempo mínimo necessário para que dois pontos de um mesmo fenómeno ondulatório estejam no mesmo estado físico. O período representa-se pelo símbolo {T}.

Definição 19

Frequência é o número de ciclos de um fenómeno ondulatório que ocorre durante um segundo. Representa-se pela letra {f} e calcula-se utilizando a seguinte expressão {f=1/T}.

Definição 20

A frequência angular é { \omega = 2\pi/T=2\pi f }

— 3.1. Oscilações —

Nesta secção vamos apenas estudar o movimento harmónico. Este é um tipo de movimento importante uma vez que em primeira aproximação muitos tipos de movimentos oscilatório podem ser aproximados pelo movimento harmónico.

Imaginemos que temos uma partícula que se desloca ao longo de uma posição de equilíbrio e está sujeita a uma força {F}.

Definição 21

Um movimento diz-se harmónico quando num movimento oscilatório a força é proporcional ao deslocamento relativo à posição de equilíbrio e tem o sentido oposto ao do deslocamento.

\displaystyle F=-k x

Recorrendo ao Axioma 2 e introduzindo {k/m=\omega^2} podemos escrever a equação que descreve o movimento harmónico como

\displaystyle \frac{\partial ^2 x}{\partial t^2}=-\omega ^2 x \ \ \ \ \ (13)

 

As equações desta solução podem ser da forma {x(t)=A\cos (\omega t + \theta)} em que {A} é o deslocamento máximo relativamente à posição de equilíbrio e {\theta} é a fase que especifica qual a posição inicial da partícula.

No caso do movimento harmónico as definições 18 e 19 podem ser escritas na forma {T=2\pi \sqrt{m/k} } e {f=1/(2\pi) \sqrt{k/m} }.

Para um movimento oscilatório a energia cinética e potencial são:

  • {K=\dfrac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2( \omega t + \theta ) }
  • {U=\dfrac{1}{2} k A^2 \cos^2( \omega t + \theta ) }

Assim sendo a energia total do sistema é {E=\dfrac{1}{2}kA^2}

— 3.2. Ondas —

Definição 22

Uma onda é uma perturbação que se propaga transportando energia.

Definição 23

Comprimento de onda, {\lambda}, é a distância mínima entre dois pontos da onda que se encontrem nas mesmas condições.

Definição 24

A velocidade uma onda com comprimento de onda {\lambda} e período {T} é {c=\lambda/T=\lambda f}

Definição 25

O número de onda é {k=2\pi/\lambda}

É possível demonstrar que a equação que representa a propagação de uma perturbação {\phi} que se move com velocidade constante {c} é:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (14)

 

Com as definições anteriores é imediato ver que equações da forma {f_1=A\sin(kx \pm \omega t)} e {f_2=A\cos(kx \pm \omega t)} são soluções de 14. Estas funções chamam-se sinusoidais, {A} é a amplitude e representa o deslocamento máximo, relativamente à posição de equilíbrio, da entidade que está a vibrar.

Em geral podemos dizer que uma onda progressiva que se propaga para a direita é sempre da forma {f=f(x-ct)} enquanto que uma onda que se propague para a esquerda é sempre da forma {g=g(x+ct)}, onde {f} e {g} são funções a especificar.

Uma vez que a equação de onda é linear sabemos que qualquer combinação linear soluções da equação 14 é ainda uma solução da equação 14.

Para que as soluções tenham sentido físico devemos impor certas condições que as equações devem obedecer em determinadas regiões do espaço. Estas condições chamam-se condições de fronteira e o seu efeito é restringir o conjunto de valores que as soluções podem tomar.

As soluções de onda que respeitam as condições fronteira têm o nome de modos normais de vibração.

Quando uma onda se propaga e encontra a fronteira entre dois meios diferentes dois acontecimentos podem ocorrer:

  1. Transmissão: alguma da energia da onda propaga-se no segundo meio.

    transmissaoonda

    \caption{Transmissão de um Pulso de Onda}

  2. Reflexão: toda a energia da onda se propaga no primeiro meio mas com o sentido oposto.

    reflexaoonda3

    \caption{Reflexão de um Pulso de Onda}

Quando duas ondas sinusoidais da mesma amplitude e frequência que se propagam em sentidos opostos geram uma onda resultante cuja equação é dada por {f=2A\sin kx \cos \omega t}. Esta é a equação de uma onda estacionária.

— 3.3. Interferência —

Quando duas ondas do mesmo comprimento de onda e diferença de fase constante se encontram dá-se o fenómeno de interferência .

Se as duas ondas se encontrarem na mesma região do espaço e tiverem a mesma fase a interferência diz-se construtiva e a amplitude do onda resultante é igual à soma das amplitudes de cada onda original.

interferenciaconstrutivapulsoondas

\caption{Interferência Construtiva de dois Pulsos de Onda}

Se as duas se encontram na mesma região do espaço em oposição de fase a interferência diz-se destrutiva e a amplitude da onda resultante é igual à subtracção da amplitude das duas ondas originais.

interferenciadestrutivapulsoondas

\caption{Interferência Destrutiva de dois Pulsos de Onda}

A figura seguinte mostra uma representação esquemática de uma realização experimental para se observar um padrão de interferências:

InterferenciaOndas

\caption{Padrão de Interferência}

— 3.4. Difracção —

Quando luz de comprimento de onda bem definido incide numa barreira com uma abertura {d} acontece um fenómeno chamado difracção . Cada porção da fenda age como se fosse uma fonte independente e ondas provenientes de porções diferentes têm fases diferentes. Da sua interacção pode resultar interferência construtiva ou interferência destrutiva.

A figura seguinte mostra uma representação esquemática de uma realização experimental para se observar o fenómeno de difracção:

PadraoDifraccao

\caption{Difracção}

— 4. Electromagnetismo —

A teoria do Electromagnetismo é a primeira teoria Física a ter uma natureza moderna. É uma teoria de campo e para além do mais é uma teoria relativista.

— 4.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Para criar uma teoria electromagnética devemos primeiro introduzir uma nova grandeza fundamental. Essa grandeza é a carga eléctrica que se representa pelo símbolo {Q} e a sua unidade no sistema internacional é o coulomb cujo símbolo é {\mathrm{C}}.

Definição 26

Campo eléctrico é um campo vectorial, denotado pelo símbolo {\vec{E}}, criado por uma carga eléctrica {q} (carga fonte).

Definição 27

Um campo eléctrico {\vec{E}} estabelece entre dois pontos {a} e {b} uma diferença de potencial {\displaystyle \Delta V=-\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{s} }

Definição 28

A força eléctrica {\vec{F}_e} surge da interacção de uma partícula de carga {q_2} (carga de teste) com o campo eléctrico criado por uma partícula de carga {q_1}.

\displaystyle \vec{F}_e=\vec{E}_1q_2 \ \ \ \ \ (15)

Definição 29

Uma carga eléctrica {q_0} que se desloque de {a} para {b} num campo eléctrico {\vec{E}} faz com que a energia potencial do sistema varie da seguinte forma {\displaystyle \Delta U=-q_0\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{s} }

Definição 30

Um campo eléctrico ao passar por uma superfície {S} de forma arbitrária estabelece um fluxo eléctrico {\Phi_E} que é dado peça seguinte expressão

\displaystyle \Phi_E = \int_S \vec{E}\cdot d\vec{A} \ \ \ \ \ (16)

onde {d\vec{A}} representa o vector de norma {dA}, direcção perpendicular à superfície.

Definição 31

Corrente eléctrica é a taxa de fluxo de carga eléctrica por unidade de tempo. Se consideramos o seu valor médio é {I_m = \Delta Q/\Delta t}. Se consideramos o seu valor instantâneo é {I=\dfrac{dQ}{dt}}

Definição 32

Campo magnético é um campo vectorial, denotado pelo símbolo {\vec{B}}, criado por uma carga eléctrica em movimento.

Definição 33

A força magnética {\vec{F}_B} surge da interacção de uma partícula de carga {q} com o campo magnético criado por uma partícula de carga {q_1}.

\displaystyle \vec{F}_B= q\vec{v}\times\vec{B} \ \ \ \ \ (17)

Definição 34

Um campo magnético ao passar por uma superfície {S} de forma arbitrária estabelece um fluxo magnético {\Phi_B} que é dado peça seguinte expressão

\displaystyle \Phi_B = \int_S \vec{B}\cdot d\vec{A} \ \ \ \ \ (18)

onde {d\vec{A}} representa o vector de norma {dA} e direcção perpendicular à superfície {S}.

— 4.2. Axiomas de Maxwell —

No interesse da consistência as equações de Maxwell serão denominadas por axiomas de Maxwell uma vez que o seu papel na teoria do electromagnetismo poder ser considerado equivalente ao papel de axiomas.

Apenas apresentaremos estes axiomas na sua forma integral ainda que estas equações possam ser expressas de modo totalmente equivalente por equações diferenciais.

Axioma 4

\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d \vec{A}=\frac{q_{in}}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ (19)

Axioma 5

\displaystyle \oint \vec{B}\cdot d \vec{A}=0 \ \ \ \ \ (20)

Axioma 6

\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d \vec{s}=-\frac{d\Phi_B}{dt} \ \ \ \ \ (21)

 

Axioma 7

\displaystyle \oint \vec{B}\cdot d \vec{s}=\mu_0 I+ \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \ \ \ \ \ (22)

 

O primeiro axioma diz-nos o fluxo eléctrico que passa por uma superfície fechada é proporcional à carga contida no interior da superfície. O segundo axioma é equivalente à afirmação de que não existem cargas magnéticas.

O terceiro axioma expressa o facto que campos magnéticos que variam no tempo criam campos eléctricos. Por sua vez estes campos eléctricos não conservativos são responsáveis por criarem uma diferença de potencial {\oint \vec{E}\cdot d \vec{s} = \varepsilon } ao longo de um circuito eléctrico.

O quarto axioma expressa o facto que campos eléctricos que variam no tempo e correntes eléctricas criam campos magnéticos. O termo {\epsilon_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt}} é denominado de corrente de deslocamento.

— 4.2.1. Consequências dos Axiomas de Maxwell —

Recorrendo ao axioma 4 e ao conceito de superfície Gaussiana podemos determinar a a expressão matemática do campo eléctrico de algumas distribuições de carga.

Uma superfície gaussiana tem que ter alguns dos seguintes atributos para permitir o cálculo de { \vec{E} }:

  • O valor do campo eléctrico deve ser constante na superfície.
  • A seguinte simplificação deve ser possível { \vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA }.
  • {\vec{E}\cdot d\vec{A}=0}.
  • O valor do campo eléctrico é 0 na superfície.

Para o caso de uma carga pontual isolada a superfície gaussiana em questão é uma superfície esférica centrada na carga. Neste caso conseguimos obter os dois primeiros atributos e vem:

\displaystyle \vec{E}=k_e\frac{q}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (23)

 

Se definirmos {V(\infty)=0} vem que o potencial eléctrico de uma carga pontual é:

\displaystyle V=k_e\frac{q}{r}\hat{r} \ \ \ \ \ (24)

 

E deste modo a energia de interacção entre uma carga {q_1} e uma carga {q_2} separadas de uma distância {r} é:

\displaystyle U=k_e\frac{q_1 q_2}{r} \ \ \ \ \ (25)

 

Para um campo eléctrico uniforme vem que a diferença de potencial entre dois pontos separados de uma distância {d} é {\Delta V=-Ed}

Outras consequências dos axiomas de Maxwell serão exploradas nas series de exercícios.

— 4.3. Ondas Electromagnéticas —

Os axiomas 6 e 6 permitem deduzir que

\displaystyle \frac{\partial ^2 E}{\partial x^2}=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (26)

 

\displaystyle \frac{\partial ^2 B}{\partial x^2}=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 B}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (27)

 

Se identificarmos {c=1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} vemos que as equações 26 e 27 são equações de onda progressivas que se deslocam com a velocidade {c}.

É um facto experimental que a velocidade de propagação de luz tem um valor muito próximo de {c} e assim surge como hipótese o facto da luz nada mais ser do que um tipo de radiação electromagnética.

Esta hipótese foi posteriormente confirmada experimentalmente por Hertz e é um dos mais espectaculares sucessos da teoria electromagnética.

Outro facto interessante que provém da teoria electromagnética é que {c} é invariante. Isto é uma directa contradição ao que tínhamos visto anteriormente no contexto da Mecânica Clássica (secção 2).

— 5. Teoria da Relatividade Restrita —

Neste momento temos uma codificação bastante boa e consistente de um vasto conjunto de dados experimentais. No entanto temos duas situações algo espinhosas entre as nossas mãos. Em primeiro lugar as transformações de Galileu apenas afirmam a invariância das leis da mecânica. Em segundo lugar temos que a teoria electromagnética prevê que a velocidade da luz não depende do referencial inercial.

A resolução destes problemas no início do século XX acarretou uma profunda revisão dos conceitos de espaço e tempo e os conceitos de massa, energia e inércia.

— 5.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Definição 35

Espaço-tempo é um espaço com três dimensões espaciais e uma dimensão temporal.

Definição 36

Um acontecimento é um ponto no espaço tempo.

Quer isto dizer que de agora em diante deixaremos de pensar no tempo como um parâmetro e que o nosso ênfase na especificação do estado de uma partícula passará para a posição que ela ocupa no espaço-tempo em vez de se focar no seu estado mecânico.

— 5.2. Axiomas de Einstein —

Axioma 8

As leis da Física têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais.

Axioma 9

As ondas electromagnéticas têm a mesma velocidade em todos os referenciais inerciais.

O primeiro axioma é uma generalização do que se chama de Princípio de Galileu e o segundo axioma apenas é o constatar de um facto experimental. À primeira vista estes dois axiomas parecem ser incoerentes, mas tal é apenas fruto dos nossos preconceitos relativamente à natureza do espaço e do tempo.

— 5.3. Transformações de Lorentz —

Imaginemos um mesmo acontecimento {P} que é descrito em dois referenciais inerciais diferentes {S} e {S'}. Vamos supor que {S'} se move relativamente a {S} com uma velocidade constante {v} e que as origens dos dois referenciais coincidem para {t=0}.

referenciaistransformacoesgalileu

É agora nossa tarefa deduzir as equações que permitam transformar as coordenadas de um referencial para as coordenadas de outro.

Primeiro que tudo vamos notar que devido ao axioma 8 podemos escrever {x'=\gamma(x-vt)} e {x=\gamma(x'+vt')}.

Talvez seja conveniente realçar o facto de termos escrito {t'} na segunda equação e que isto quer dizer que a natureza do tempo não é assumida mas sim deduzida.

Após alguma manipulações algébricas obtemos

\displaystyle \gamma=\frac{1}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} } \ \ \ \ \ (28)

 

Ou seja as nossas transformações, denominadas por transformações de Lorentz são

{\begin{aligned} \label{eq:transformacoeslorentz} x' & = & \gamma(x-vt)\\ y' & = & y\\ z' & = & z\\ t' & = & \gamma\left(t-\dfrac{vx}{t^2}\right) \end{aligned}}

— 5.4. Consequências das Transformações de Lorentz —

As transformações cuja forma acabamos de deduzir têm consequências que parecem verdadeiramente incríveis ao senso comum:

  • O espaço e o tempo não mais são entidades absolutas.
  • O conceito de acontecimentos simultâneos é relativo ao referencial.
  • O comprimento de corpos em movimento encurta na direcção do seu movimento.
  • A fórmula para a adição de velocidades tem que ser revista.
  • Os conceitos de massa, energia e inércia devem ser repensados.

Entender o porquê da primeira consequência é trivial tendo em conta a forma das transformações de Lorentz. A segunda, terceira e quarta consequências serão demonstradas como exercícios e a última consequência será estudada na secção 5.

— 5.5. Relação entre Massa e Energia —

De modo a obtermos a conservação do momento linear utilizando as transformações de Lorentz a definição de momento linear (definição 14) deve ser revista.

Definição 37

O momento linear de uma partícula que se desloca com velocidade {\vec{v}} é

\displaystyle \vec{p}=\gamma m \vec{v} \ \ \ \ \ (29)

Definição 38

Quando o momento linear de uma partícula varia dizemos que a partículas está a ser actuada por uma força

\displaystyle \vec{F}=\frac{d}{dt}(\gamma m \vec{v}) \ \ \ \ \ (30)

A revisão dos conceitos de momento linear e força no contexto da teoria da relatividade implicam necessariamente a revisão do conceitos de energia cinética e do conceito de inércia.

Sabemos que uma força realiza trabalho sobre uma partícula ao longo de um determinado deslocamento.

\displaystyle W= \int_{x_1}^{x_2} F dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{dp}{dt} dx = mc^2(\gamma-1)

Se a força actua na partícula estando esta primeiramente em repouso é

\displaystyle K=mc^2(\gamma-1) \ \ \ \ \ (31)

 

Uma vez que {mc^2} é a energia associada a uma partícula quando esta está em repouso {\gamma mc^2} tem que ser a soma da sua energia cinética com a energia em repouso.

Definição 39 A energia total de uma partícula é dada pela equação

\displaystyle E=\gamma m c^2 \ \ \ \ \ (32)

 

Com a definição normal de trabalho e a definição relativista de força concluímos que a energia de uma partícula está relacionada com a sua massa. Quando {\gamma=1} (partícula em repouso) temos {E=mc^2}.

Uma vez que na física moderna o conceito de momento linear tem sentido físico enquanto que o conceito de velocidade não, é costume escrever a equação 32 na forma

\displaystyle E^2=(mc^2)^2+(pc)^2 \ \ \ \ \ (33)

 

Esta última equação indica que a massa e a energia são apenas duas faces de uma mesma moeda e que se podem converter uma na outra.

Para além disso também demonstra que a inércia, no contexto relativista, deixa de ser vista como uma medida da massa da partícula e passa a ser vista como uma medida da massa e do momento linear da partícula.

 

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