Mar de Dirac

Fazer Ciência

Category Archives: História da Física

Tópicos de Física Moderna – Parte I

— Introdução —

O objectivo destes apontamentos é servirem de apoio aos estudantes do Engenharia Informática da Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola numa breve introdução aos conceitos de Física Moderna.

Uma vez que neste apontamentos os alunos não encontrarão exercícios resolvidos, para além de alguns simples exemplos, e que nem tudo o que será dito nas aulas constará destes apontamentos (a escassez de diagramas é, talvez, a sua falha mais evidente e os poucos diagramas que se encontram nestas folhas devem-se aos livros que constam da bibliografia) a presença nas aulas é fortemente recomendada.

Como se tal não bastasse, nem tudo que será escrito nestes apontamentos será dito nas aulas, e assim a relação entre os apontamentos e as aulas é de complementaridade.

O objectivo deste curso é introduzir alguns conceitos de Física Moderna de uma forma acessível. Como tal será feita uma breve revisão de alguns conceitos, pressupostos e resultados da mecânica clássica, ainda que utilizando alguma terminologia e conceitos mais modernos, e só depois a Física Relativista e Física Quântica serão introduzidas e estudadas.

Os temas que iremos tratar ao longo deste curso serão (quase) sempre introduzidos da mesma maneira: umas quantas definições de conceitos iniciais, uma exposição dos axiomas que regulam o comportamento das entidades definidas e os resultados que se seguem após o enunciado dos axiomas.

Sei bem que esta não é a maneira corrente de ensinar muitos destes tópicos a um nível introdutório, mas escolhi assim fazê-lo porque tal permite brevidade de exposição dos temas tratados e porque me parece que as teorias assim retratadas são manifestamente mais elegantes.

Espero que o que se ganhe em tempo e elegância não seja compensado por uma correspondente perda em pedagogia.

Aos alunos mais interessados recomenda-se a leitura do livro de A. Einstein e L. Infeld A Evolução da Física.

— Desiderata —

Apesar de ao longo do nosso curso nós praticamente não considerarmos experiências, a Física é, acima de tudo, uma ciência exacta e experimental. Assim sendo o seu objectivo deve ser a codificação de um conjuntos de dados experimentais por meio de modelos que permitam uma interpretação dos fenómenos que se decide estudar.

Um facto extraordinário é que a partir da codificação e interpretação de um certo conjunto de dados iniciais por parte de um modelo podemos utilizar esse mesmo modelo para prevermos uma nova classe de fenómenos. O confronto destas previsões com resultados experimentais permitirá concluir qual o domínio de validade da teoria construída.

Vamos então codificar os dados experimentais e construir um modelo que nos permita explicar e entender uma parte do mundo que temos à nossa volta.

— 1. Considerações Iniciais —

Podemos dizer sem estarmos muito longe da verdade que a Física fundamental moderna tem na sua essência três concepções fundamentais:

  1. O conceito de campo.
  2. A Relatividade.
  3. A Física Quântica

O conceito de campo é comum à praticamente todo o nosso curso por isso vamos já defino-lo:

Definição 1 Campo é um objecto matemático que tem um valor definido num dado conjunto de pontos do espaço.
Definição 2 Um campo diz-se vectorial quando os seus valores são grandezas vectoriais.
Definição 3 Um campo diz-se escalar quando os seus valores são grandezas escalares.

As equações de campo que vamos descrever representam sempre interacções lineares. Assim podemos considerar cada interacção proveniente de um campo como sendo independente das outras interacções e a resultante é simplesmente a soma de todas as interacções.

Associada ao conceito de campo temos o conceito de energia potencial . Esta energia deve-se à interacção da partícula com o campo {\vec{A}} e em geral é proporcional a {\displaystyle\int_a^b\vec{A}\cdot d\vec{s}} onde {d\vec{s}} é o vector deslocamento infinitesimal.

— 2. Mecânica —

A Mecânica Newtoniana é a primeira teoria Física que vamos estudar. Surgiu no século XVII, ganhou maturidade nos séculos XVIII e XIX e rejuvenesceu no século XX.

Este primeiro capítulo será uma introdução muito breve e superficial dos seus triunfos e resultados, mas ainda assim espero demonstrar alguma da sua extrema elegância e profundidade.

— 2.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Todas as grandezas mecânicas podem ser expressas em unidades que derivam das unidades das três grandezas seguintes:

  • Comprimento que se representa pela letra {L}.
  • Tempo que se representa pela letra {T}.
  • Massa que se representa pela letra {M}. Na mecânica clássica a massa de um corpo é uma indicação da sua resistência a alterar o seu estado de movimento. Esta característica tem o nome de inércia .

As unidades que utilizámos para expressar estas grandezas não têm nada de essencial e são puramente convencionais. Neste curso iremos utilizar o sistema internacional e vem que {\left[ L \right] =m}, {\left[ T \right] =s} e {\left[ M \right] = \mathrm{Kg}}.

Definição 4

Um referencial é um conjunto de eixos que permitem representar os graus de liberdade do sistema em estudo e um ponto arbitrário que serve como origem.

Definição 5 Um referencial diz-se inercial : quando possui as seguintes propriedades:

  • Espaço é homogéneo (todos os pontos são equivalentes) e isotrópico (não existem direcções privilegiadas).
  • Tempo é homogéneo (todos os instantes de tempo são equivalentes).
Definição 6 Posição é o lugar geométrico que a partícula ocupa num dado instante de tempo num referencial.
Definição 7 Trajectória é o lugar geométrico das sucessivas posições que a partícula ocupa num intervalo de tempo.
Definição 8 Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de uma partícula. Normalmente representamos o deslocamento através do símbolo {\Delta \vec{x}}.

Sabemos pela experiência que os corpos se deslocam percorrendo deslocamentos diferentes em intervalos de tempo diferentes. O conceito que relaciona a variação da posição de uma partícula com o intervalo de tempo necessário para essa variação ocorrer é chamado de velocidade . Mas em física convém sermos mais rigorosos e definirmos dois tipos diferentes de velocidade.

Definição 9 Velocidade média : grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da posição para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{v}_m=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (1)

Definição 10 Velocidade instantânea : grandeza vectorial que permite calcular a variação da posição para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (2)

Uma vez que a velocidade das partículas também varia, fenómeno que recebe o nome de aceleração }, podemos introduzir as seguintes definições:

Definição 11 Aceleração média : grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da velocidade para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{a}_m=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (3)

Definição 12 Aceleração instantânea : grandeza vectorial que permite calcular a variação da velocidade para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} \ \ \ \ \ (4)

Convém ainda dizer que normalmente diz-se apenas velocidade (aceleração) em vez de velocidade instantânea (aceleração instantânea).

Associado ao conceito de velocidade temos dois conceitos físicos. Um deles escalar, e portanto fornece menos informação sobre o movimento da partícula, e o outro vectorial.

Definição 13 Energia cinética : energia associada ao movimento de uma partícula e defini-se como sendo:

\displaystyle K=\dfrac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \ \ \ \ \ (5)

Definição 14 Momento linear : grandeza vectorial associada ao movimento de uma partícula.

\displaystyle \vec{p}=m \vec{v}=m \dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (6)

Vemos então o porquê da afirmação da energia cinética conter menos informação sobre o movimento da partícula do que o movimento linear. Pela sua definição a energia cinética não nos dá informação sobre a direcção da velocidade da partícula enquanto que o momento linear nos diz tanto a direcção e a magnitude da velocidade.

Em termos mais prosaicos: o momento linear diz para onde vai a partícula e com que velocidade vai. A energia cinética apenas nos diz com que velocidade vai a partícula.

Definição 15

O estado mecânico de uma partícula é especificado através da determinação simultânea e de precisão infinita das suas coordenadas e do seu momento linear.

— 2.2. Axiomas de Newton —

Até ao momento temos os intervenientes da nossa peça mas ainda não temos as regras que deverão guiar as suas interacções. Estas regras são dadas pelos três axiomas de Newton.

Axioma 1 Existe um referencial inercial onde o momento linear de uma partícula livre mantém sempre o mesmo valor.

Este enunciado não é o que habitualmente se apresenta como a “Primeira Lei de Newton”. Convém então dar uma explicação do porquê da forma deste enunciado.

Anteriormente definimos um referencial inercial, mas a definição que demos é de carácter puramente matemático. Nada neste mundo implica a existência da estrutura matemática que definimos e a função da “Primeira Lei de Newton” é exactamente estipular a existência de um tal referencial no mundo em que habitamos. A justificação desta arrojada hipótese é o espectacular acerto das previsões que a teoria de Newton faz e os resultados obtidos em experiências.

De notar que o habitual enunciado da “Primeira Lei de Newton” está errado em referenciais não inerciais. Uma vez que o habitual enunciado não especifica a que tipo de referencial se refere também ele está, consequentemente, errado.

Outro pormenor interessante é que o Axioma 1 apenas exige a existência de um referencial inercial, mas podemos concluir que existe um número infinito de referenciais inerciais.

Sabemos que num referencial inercial o espaço é homogéneo e isotrópico e que o tempo é homogéneo. Assim sendo o ponto que escolhemos como origem nada tem de especial e podemos efectuar uma translação para um outro ponto qualquer e passar a considerar esse novo ponto como sendo a origem de um novo referencial inercial.

Para além disso podemos rodar todos os nossos eixos em simultâneo e obter novos eixos. Estes novos eixos apenas se distinguem dos antigos por terem novas direcções. Uma vez que o espaço é isotrópico tal facto não acarreta nada de novo e assim este novo referencial continua a ser inercial.

Outra transformação que podemos fazer é obter um referencial que se mova com velocidade constante relativamente ao primeiro referencial. Novamente este situação nada tem de novo e os referenciais continuam a ser equivalentes.

Uma vez que o tempo é homogéneo o instante de tempo que se convencionou ser {0} nada tem de especial. Ou seja um referencial que se obtém de um referencial inercial, alterando o que se considera como sendo o instante inicial, também é um referencial inercial.

Para finalizar temos ainda que dizer que qualquer composição destas transformações também produz um referencial inercial.

Axioma 2

Se o momento linear de uma partícula varia num referencial inercial diz-se que essa partícula foi actuada por uma força, {\vec{F}}, que se calcula utilizando a seguinte expressão: {\vec{F}= \dfrac{d\vec{p}}{dt}}.

Este axioma reduz-se a {\vec{F}=m\vec{a}} quando a massa da partícula é constante. No que se segue iremos sempre considerar que a massa da partícula é constante.

Axioma 3

Quando dois objectos interagem entre si a força {\vec{F}_{12}} (força que o objecto 1 exerce sobre o objecto 2) tem a mesma direcção, é igual em intensidade à força {\vec{F}_{21}} (força que o objecto 2 exerce sobre o objecto 1), mas tem o sentido oposto. {\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}}

— 2.3. Cinemática e Dinâmica —

Nesta secção vamos introduzir muito esquematicamente considerações que visam descrever e explicar o movimento de uma partícula.

— 2.3.1. Equações de Movimento —

Das definições de aceleração e velocidade que introduzimos na secção 2 resulta o seguinte

\displaystyle d\vec{v}= \vec{a}dt \Rightarrow \int_{t_0}^t d\vec{v}= \int_{t_0}^t \vec{a}dt \Rightarrow \vec{v}(t)-\vec{v}(t_0)=\int_{t_0}^t \vec{a}dt \ \ \ \ \ (7)

Uma vez que a relação funcional da aceleração em função do tempo não é conhecida o lado direito da última igualdade não pode ser calculado.

Temos ainda

\displaystyle d\vec{x}= \vec{v}dt \Rightarrow \int_{t_0}^t d\vec{x}= \int_{t_0}^t \vec{v}dt \Rightarrow \vec{x}(t)-\vec{x}(t_0)=\int_{t_0}^t \vec{v}dt \ \ \ \ \ (8)

 

Onde também não prosseguimos o cálculo visto que desconhecemos a expressão {\vec{v}(t)}.

Se consideramos que {\vec{a}} é constante no tempo (movimento uniformemente acelerado)podemos resolver a equação 2, { \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}(t-t_0)}, e após substituição na equação 8 obtemos

\displaystyle \vec{x}(t)=\vec{x}_0+\vec{v}_0(t-t_0)+\frac{1}{2}\vec{a}(t-t_0)^2 \ \ \ \ \ (9)

 

No caso {\vec{a}=\vec{0}} o movimento diz-se rectilíneo uniforme.

— 2.3.2. Transformações de Galileu —

Tínhamos visto após o axioma 1 que existe uma infinidade de referenciais inerciais. Faz então sentido perguntarmo-nos como podemos saber as coordenadas e velocidade de um ponto material num segundo referencial inercial.

Imaginemos que temos dois referenciais {S} e {S'} cujas origens coincidem no instante de tempo que convencionámos tomar como origem do tempo. Para além disso {S'} move-se com uma velocidade {\vec{v}_0} relativamente a {S}.

TransformacaoGalileu

Pela adição de vectores é {\vec{v}_0 t+\vec{r}'=\vec{r}} que podemos escrever na forma de componentes:

{\begin{aligned} x' & = & x-v_{0x}t\\ y' & = & y-v_{0y}t\\ z' & = & z-v_{0z}t \end{aligned}}

Derivando as anteriores equações em ordem ao tempo

{\begin{aligned} v'_x & = & v_x-v_{0x}\\ v'_y & = & v_y-v_{0y}\\ v'_z & = & v_z-v_{0z} \end{aligned}}

As transformações de Galileu são equivalentes à afirmação que a forma das equações da Mecânica não depende do referencial inercial que se escolhe para estudar o movimento.

— 2.3.3. Movimento circular —

Uma vez que a velocidade é uma grandeza vectorial uma partícula diz-se acelerada não só quando a velocidade varia em módulo mas também quando varia em direcção.

Para o movimento ser circular tem que existir uma força que se chama força radial, { \vec{F}_r }, que em todos os pontos da trajectória da partícula tem a direcção do centro. Esta força causa uma aceleração radial, também chamada centrípeta, cuja expressão matemática é {a_c=v^2/r}.

A aceleração responsável pela variação da velocidade em módulo é a aceleração tangencial, {a_t}.

— 2.4. Campo Gravítico —

A lei da gravitação universal diz que todas as partículas do Universo atraem todas as outras partículas do Universo com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa e directamente proporcional ao produto das suas massas.

Enunciada desta forma esta lei tem o problema de implicar que a interacção gravítica é instantânea. Para solucionarmos este problema vamos apresentar a gravidade como sendo um propriedade emergente de um campo.

Definição 16 Campo Gravítico: Campo vectorial, {\vec{g}}, criado por um corpo de massa {m_1} em todos os pontos do espaço (excepto no ponto onde se encontra) que é responsável pela interacção gravítica.

\displaystyle \vec{g}=G\frac{m_1}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (10)

Quando uma partícula de massa {m_2} é colocada num ponto do espaço onde existe um campo gravítico {\vec{g}} a partícula interage com este campo gravítico. Ao interagir com o campo gravítico a partícula de massa {m_2} fica sob a acção de uma força {\vec{F}_g} cuja expressão matemática é

\displaystyle \vec{F}_g=\vec{g}m_2=G \frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (11)

 

Onde {\hat{r}} é um vector unitário com a direcção da recta que une as duas partículas e com sentido a apontar para {m_1}.

Para o caso particular de um corpo de massa {m} que esta a {h} metros da superfície da Terra sujeito à sua atracção gravitacional é

\displaystyle F_g=G \frac{M_T m}{(R_t+h)^2}

Recordando que {\vec{F}=m\vec{a}} para corpos de massa constante podemos escrever que a intensidade da aceleração da gravidade é

\displaystyle g=G\frac{M_T}{(R_t+h)^2}

.

Definição 17

Quando dois corpos de massa {m_1} e massa {m_2} interagem graviticamente estabelece-se entre eles uma energia derivada do campo gravítico. Esta energia tem o nome de energia potencial gravítica e a sua expressão matemática é

\displaystyle U=-G \frac{m_1 m_2}{r} \ \ \ \ \ (12)

 

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Teoria das Cordas – Noções, cronologia, interpretações

Em 1968, o jovem físico Gabriele Veneziano começou por procurar um conjunto de equações que explicassem a Força Nuclear Forte, a força extremamente poderosa que une o núcleo de todos os átomos, juntando protões com neutrões.

Reza a história que enquanto vasculhava num livro de História da Matemática, Veneziano constatou no mesmo uma equação com 200 anos de Leonhard Euler, um fisico suiço, que havia se deparado com várias curiosidades matemáticas no passado, poderia agora enquadrar-se com a força nuclear forte. Veneziano publicou de imediato a sua tese, “The Gamma Function”, baseada nesta descoberta “acidental”, tornando-se conhecido desde então pela comunidade. Embora existam vários rumores de como foi descoberta esta tese, que miraculosamente descrevia a força nuclear forte, rapidamente  tomou vida própria.

Assistiamos assim, ao nascimento da Teoria das Cordas.

Partilhada por vários fisicos, a equação de Euler chegou então a Leonard Susskind, um fisico americano, que ficou fascinado pela possivel interpretação de algo novo e desconhecido. Incessantemente, Leonard investigou durante meses a possibilidade de descrever uma nova particula, com estrutura interna própria, que podia se alterar, como uma corda que vibrava, esticava, em vez de uma particula estática. Susskind comprovou que esta nova interpretação era perfeitamente compativel com a equação de Euler.

O nome “Teoria das Cordas” nasceu.

Mas esta teoria foi mais longe. As suas implicações seriam revolucionárias na concepção do Universo, uma mudança dramática na Física, prometendo a resolução entre vários paradigmas anteriores como a integração da gravidade em mecânica quântica, a previsão de várias particulas com características surpreendentes, uma nova noção de espaço, energia e comportamento sub-atómico.  Uma nova esperança brutara para reacender o sonho que ocupou obsessivamente Albert Einstein nos seus últimos anos de vida…uma teoria elegante para a unificação das forças, uma teoria do “Tudo”.

No entanto, na comunidade cientifica, a Teoria das Cordas vivia na sombra do modelo padrão concebido anteriormente. Considerada elegante e ousada,mas longe de ponderada com seriedade , como se nada tivesse a ver com a Natureza. Os seus pioneiros estavam convencidos que conseguiam “cheirar” a realidade e continuar nos seus avanços. Mas quanto mais se entregavam à teoria, mais problemas eram descobertos…  Existiam vários, na verdade. Por exemplo:

– A previsão de uma nova particula que sabemos não ser física, a qual chamamos de “taquião” (tachyon), podendo viajar mais rápido que a luz;

– A sugestão que poderão exisitir 10 dimensões, o que é bastante surreal uma vez que é óbvio que são mais do que as existentes;

– A previsão de uma particula sem massa, que não era detectável em experiências laboratoriais.

Logo, todos estes novos progressos não pareciam de todo exequíveis, deprovidos de qualquer sentido lógico, eventualmente soavam a ideias loucas. De tal forma, que muitas vezes era assumido como absurdo e ignorado.

Em 1973, apenas alguns jovens físicos lutavam com as obscuras equações da teoria das cordas. John Henry Shcwarz, físico norte-americano, deparava-se ainda com os inúmeros problemas da teoria, entre eles a misteriosa particula sem massa prevista mas nunca detectada na Natureza e um conjunto de inconsistências matemáticas / anomalias. Schwarz tentou remoldar, redefinir a teoria, ajusta-la, mas sem sucesso. Prestes a abandonar a sua investigação, uma nova perspectiva surgiu em mente, uma ideia remota baseada na hipotética possiblidade que as equações estivessem a descrever a gravidade. Mas isso significaria que teriamos que considerar o tamanho destas cordas de energia. Este foi de longe um passo de gigante. Até conceber a hipótese que estariamos a lidar com uma teoria da gravidade, as interpretações retiradas eram insuficientes e inconsistentes. Ao considerar que as cordas seriam de um comprimento Planck (10−35 m), esta particula ilusiva que Schwarz perseguira, aparentava ser um gravitão (graviton “G”), acreditada como responsável por transmitir gravidade a nivel quântico.

A Teoria das Cordas apresentava agora a peça que faltava no puzzle do modelo padrão.

Schwarz publicou a sua tese onde descrevia como a gravidade funciona a nivel sub-atómico, mas embora parecesse incontestável, a sua publicação não obteve qualquer reacção na comunidade cientifica. Mais uma vez, a teoria das cordas caia por terra… Schwarz não se declarou derrotado, pois defendia que se as cordas descreviam a gravidade a nivel quântico, deviam ser a chave para unir as quatro forças da Física. Um dos únicos cientistas dispostos a arriscar a sua carreira como físico nesta demanda, Michael B. Greene, aliou-se a Shwarz. Esta aliança motivada teria que confrontar o facto que durante os anos ’80, a teoria das cordas possuia falhas drásticas na matemática, conhecidas como anomalias. Uma anomalia é uma incosistência matemática, algo que não se suporta em cálculo, algo que se descreve estranho ou deslocado. Vejamos o exemplo:

– Considerando que temos duas equações que descrevem a realidade: 2x=2 e x/2=1

Obtendo na 1º equação x=1; na 2ª equação x=2, deparamo-nos com uma anomalia, porque sabemos que só pode haver um valor para x. A menos que possa redefinir as duas equações, obtendo o mesmo valor de x, a teoria desaba por sí.

O mesmo aconteceu com a teoria das cordas, nos anos 80. Enfrentando anomalias parecidas com o exemplo acima descrito, embora muito mais complexas, a sua refinação era lenta. Em concreto anomalias com integração da teoria da gravidade e a teoria de Yang-Mills.

Em 1984, Shwarz e Greene conseguiram demistificar as anomalias, chegando a um resultado conclusivo e auto-sustentável matematicamente, considerando agora a possiblidade de descrever a união das forças da Física, o sonho de Einstein, banstante alcansável. A sua publicação foi desta vez feita com algum ceptismo perante a comunidade, a dupla aliada já não acreditara que se criasse algum impacto substancial. Mas a história provou-os errados. O impacto foi chocante e avassalador. Em apenas alguns meses, o número de físicos e cientistas aumentou exponencialmente, de apenas um pequeno grupo para mlihares de aficionados e fascinados por todo o mundo. Esta nova versão da teoria das cordas aparentava descrever com sucesso tudo o que vemos na Natureza, de forma sustentada e coerente. Em cada grão de areia estão biliões de átomos, cada átomo é formado por electrões orbitrando um nucleo formado por protões e neutrões, compostos por pedaços mais pequenos de matéria chamados “quarks”.

Mas a teoria das cordas afirma espantosamente que as particulas que constituem tudo no Universo são compostas por ingredientes ainda mais pequenos… fios vibrantes de energia  que se parecem com cordas. Cada uma destas cordas é inimaginavelmente pequena, aliás se um átomo fosse do tamanho do sistema solar, uma corda seria tão grande como carro familiar.

A ideia elegante desta teoria sugere que tal como uma corda de violino emite uma frequência diferente, produzindo assim o que ouvimos como diferentes notas musicais, as cordas vibram variavelmente produzindo propriedades unicas às particulas, como massa e carga energética. De um ponto de vista quotidiano, esta concepção quase romântica, indica que a diferença entre as particulas que formam o ser humano, de um carro, um cão ou as particulas que transmitem a gravidade, consiste na forma como estas cordas vibram. Composto por estas cordas que oscilam vibrações diferentes, o Universo pode ser visto como uma grande sinfonia cósmica, juntando pacificamente as duas perspectivas de um universo quântico sub-atómico, e um universo relativista vasto, unindo todas as forças e toda a matéria.

Mas esta encantadora teoria, possui ainda um ponto fraco…

Nenhuma experiência poderá ser realizada para comprovar empiricamente a teoria, considerando as distâncias relativistas de um universo infinitamente vasto. Nenhuma observação pode ser feita num universo sub-atómico, para relacionar sob forma de prova a conclusão. O que, ironicamente, serve também o argumento: Não existe nenhuma experiência ou observação possível (considerando a tecnologia humana num futuro próximo) que prove inconstestavelmente que a teoria das cordas está errada. A teoria está salva, permanentemente. A pergunta que surge de imediato é: É uma teoria da Física ou uma filosofia?

Não nos esqueçamos de que para funcionar, a teoria das cordas necessita de mais dimensões, algo que parece tirado de um filme de ficção cientifica. Mais dimensões de… espaço. Para que os físicos integrados nesta teoria fossem reconhecidos e acompanhados, teriam que explicar inexoravelmente como esta afirmação podia ser aplicada. Curiosamente, a ideia estranha de que existem mais dimensões nasceu quase há um século. Em 1919, um quase desconhecido matemático alemão chamado Theodor Franz Kaluza, teve a coragem de desafiar o óbvio. Kaluza sugerira que talvez o nosso Universo teria mais uma dimensão, que por alguma razão não fosse visível. O matemático alemão partilhou a sua ideia com Albert Einstein, e embora Einstein estivesse inicialmente entusiasmado com a proposta, permaneceu reticente 2 anos, até à sua publicação. A ideia numa forma simplista consiste no principio de Einstein, publicado em 1916, que prova que a gravidade não é mais que tecido maleável, compropriedades especificas no espaço, em 3 dimensões de espaço e 1 dimensão de tempo.

3 anos depois Kaluza propôs que o electromagnetismo também poderia partilhar das propriedades da gravidade. Mas para ser verdade, Kaluza necessitava de um espaço onde esse tecido pudesse ser moldado. Então, Kaluza sugere uma dimensão adicional, escondida de observação possivel. Interessado no trabalho de Kaluza, o físico sueco Oskar Klein uniu-se na investigação e ambos declaram uma resposta pouco ortodoxa: o tecido do nosso universo pode ter as dimensões concebidas (3+1) mas também dimensões circulares mais pequenas, mesmo a nivel quântico. Para ilustrar esta noção temos que utilizar uma outra perspectiva, eis um exemplo: Considerem um donut em cima de um prato na mesa. Observado a 5 metros ao nivel da mesa, tudo o que vemos é uma forma meio rectangular creme, numa dimensão apenas. Uma formiga que passe por cima da mesa pode caminhar para cima e baixo do donut, trás e frente, para os lados mas também circular em redor do doce . A formiga têm uma percepção bastante diferente que a nossa baseada numa dimensão apenas.

Kaluza e Klein sugeriram então, resumidamente, que o universo pode ser constituido de dimensões amplas, vastas, mais abrangentes, mas também por dimensões mais pequenas, indetectáveis pela nossa percepção, a nivel sub-atómico, onde tal como uma formiga circulando um donut, as particulas poderiam vaguear nestas dimensões.

Para que a teoria das cordas seja processada com sucesso, a matemática e cálculo exigem mais dimensões de espaço que nos rodeam. Exactamente iguais às dimensões que conseguimos ver, apenas diferentes na sua forma. “Forma” é de acordo com a teoria das cordas a pedra basilar. Na sua interpretação, estas dimensões adicionais indicam que pela sua forma particular, ajustam o tecido do próprio espaço.  De acordo com a previsão, se pudessemos encolher por forma a navegar por estas dimensões, veriamos que estas dimensões influenciam o comportamento das cordas, condicionando a sua frequência e como vibram, criando assim as particulas fundamentais do universo. É certo que as equações que demonstram este curto parágrafo são bastante complexas, abismais diria. Tanto que as melhores mentes confrontadas com as implicações da teoria das cordas até aos anos 90, encontravam alguma resistência ou atrito na sua interpretação/resolução (ainda hoje). Mas algures no processo de desvendar peça a peça o quebra-cabeças, os físicos envolvidos foram longe demais. Foram derivadas por concepções semelhantes, 5 teorias das cordas diferentes, cada uma delas competindo pelo titulo “Teoria de Tudo”. Se por um lado existia algum contentamento por 1 das 5 teorias das cordas ser o possivel candidato vencedor, a pergunta mais evidente levantava a constatação do óbvio: Porque existem 5?!

As 5 teorias tinham muitos aspectos em comum, todas envolviam cordas vibrantes, mas os seus detalhes matemáticos e demonstração prática eram completamente distintos. Forçosamente uma teoria que explique tudo não poderá ter 5 visões diferentes. Em 1995, Edward Witten, fisico e matemático único (provavelmente uma das melhores mentes desde Einstein), convocou fisicos de todo o mundo para uma palestra na Universidade da Califórnia do Sul, que viria a chocar toda a comunidade cientifica. Witten estara interessado nas 5 teorias das cordas, decidido a deixar o seu contributo estabeleceu que a existência de várias teorias das cordas era insustentável, estando determinado a eliminá-las. A resolução do paradigma chegou através de uma nova forma surpreendente e radical, que Witten apressou comunicando aos seus colegas que encontrara a solução para todas as teorias das cordas, tinha resolvido o problema de todas as dimensões e iria anunciar publicamente durante a palestra. A intervenção de Witten não podia ter sido mais forte, de uma forma súbtil e elegante, mudou a perspectiva de interpretação das 5 teorias das cordas, considerando que embora diferentes entre si, todas elas reflectiam uma única teoria, em diferentes espectros e ângulos. Edward Witten foi o responsável por unificar a teoria unificadora de todas as forças. Dificilmente existirá outra ironia igual na Física.

Esta nova teoria unificada por Edward Witten ganhou um nome baptizado pelo próprio: M-Theory.

Embora niguém saiba o que na realidade quer dizer “M”, quer-me parecer que “M” seja um “W” invertido de “Witten”. Muitos partilham desta opinião.

Na emergente saga que se seguiu à publicação de Witten e a sua M-Theory, a teoria das cordas estava oficialmente visada para uma aplicação global no entendimento fundamental da Fisica. Mas existia um preço a pagar… As 5 teorias das cordas necessitavam de 10 dimensões no seu âmago: 1 tempo e 3 espaço + 6 espaço completamente invisivéis. Só desta forma poderiam ser sustentáveis. A M-Theory foi um pouco mais longe, acrescentando mais um dimensão, num total de 11 dimensões. O principio assenta no facto que as dimensões estão relacionadas forcosamente  com as direcções que se podem tomar, por vezes chamadas de graus de liberdade. Quanto mais dimensões ou graus de liberdade temos, mais direcções podemos tomar. Se consideramos 11 dimensões, as cordas previstas na teoria podem consequentemente fazer muito mais. A dimensão que Witten acrescentou radicaliza a interpretação das cordas. De destacar a concepção que permite que as cordas estiquem, formando algo como uma membrana, vulgarmente abreviado entre a comunidade de “brane” (mem-brane). Uma brane pode ter 3 dimensões ou mesmo mais, e com energia suficiente podem crescer até um tamanho astronómico, talvez tão grande como um universo. Tal perspectiva foi uma revolução na teoria das cordas e para os fisicos intervenientes. Tanto que actualmente, continua apelidada de teoria das cordas, mas considerando a existência de branes há quem hesite considerar que se trate de cordas apenas. A ponderação na existência de membranas e dimensões adicionais é tão profunda nesta teoria que a forma como podemos ilustrar o nosso universo dentro de uma membrana (brane) pode implicar interpretações ainda mais radicais, como multiplos universos, cada um com uma brane, criando a sua própria matéria e particulas, as suas próprias Leis da Fisica. Chegamos assim a um novo paradigma de universos paralelos, ou melhor, a um multiverso. Esta ideia é poderosa, porque se de facto for correcta, significa que a nossa ideia de universo está ofuscada pelo facto de estarmos confinados a uma porção de um universo com mais dimensões, sem conseguirmos alcançar novos horizontes. Esta ideia é forte porque lida mais uma vez com a gravidade.

Enquanto força, a gravidade é menor que qualquer outra força da Física. Derrotamos a gravidade exercida pelo planeta Terra na maçã de Newton, levantando apenas com a força do nosso braço. Uma grua com braço magnético levanta com facilidade um veiculo do chão. Embora a força electromagnética seja mais forte que a força da gravidade (na verdade 1039 vezes mais forte)  funciona de forma diferente. Esta discrepância na fraqueza da força da gravidade sempre foi alvo de inquérito pela Física, porém neste mundo radical da teoria das cordas, levanta-se um novo modo de abordar o problema. Uma das formas de responder porque é a força da gravidade tão fraca comparada com as restantes forças, passa por reformular a pergunta em si, no sentido em que não é mais fraca que as restantes, apenas aparenta ser. Esta questão é hipotética mas existe a possiblidade de a força da gravidade ser tão forte como a electromagnética mas por algum motivo não conseguimos sentir a sua força. Integrando a teoria das cordas neste paradigma, podemos equacionar o facto de que a gravidade pode não estar restrita a uma membrana, podendo dissipar-se da nossa parte do universo.

Mais uma vez a resposta reside na “forma” das cordas. Até meados dos anos 90, a ideia generalizada relativa à forma das cordas vibrantes consistia num loop, algo como um elástico, imagem ilustrada por Susskind. Depois da introdução da M-Theory as possibilidades apontam para uma outra forma coexistente, uma corda onde as suas extremidades estão presas a um universo tridimensional, provocando assim toda a matéria existente.  Mas as formas fechadas sem extremidades não são contestadas, são mantidas como ilustração possivel. Não tendo extremidades, consideram-se  livres de escapar por entre as 11 dimensões. Este método ilustrativo (numa forma resumida e básica) explica a previsão inerente na teoria das cordas para a existência do gravitão (graviton), responsável pela força da gravidade. Desta forma, devido ao seu grau de liberdade entre dimensões, a força da gravidade pode de facto ser iludida.

Estes pontos puramente teoréticos, levantam a questão pertinente  fomentada na hipótese de vivermos numa membrana, num universo integrado num multiverso. Podemos nunca sair deste universo mas talvez possamos sentir a gravidade do nosso universo paralelo vizinho?

Na maior máquina alguma vez criada pelo Homem, o Large Hadron Collider, procedem-se a testes na aceleração de particulas a uma velocidade prómixa da luz, colidindo directamente as particulas e examinando o embate através de longas listagens de dados recolhidos. Tal esforço e investimento comprometidos contribuiram para centenas de novas particulas detectadas,incluindo uma particula bastante semelhante ao bosão Higgs (99,999999% semelhante)  também previsto pela teoria das cordas;  novas reformas essenciais na área da investigação experimental e laboratorial; mudanças dramáticas na estrutura da Física actual.  A prova da existência do gravitão prevista na teoria das cordas continua um mistério, mas é encarado como um trabalho em progresso e uma experiência de alto significado para a realização não apenas da teoria das cordas, como para toda a Ciência e conhecimento do universo.

Por mais promissora que seja a Teoria das Cordas, ainda se considera incerta, num estado embrionário, digamos. Muitos físicos ponderam se as suas investigações e cálculos são produto de uma matemática fantasiada ou descrevem em concreto o mundo real.

Porque apesar de todos estes significativos avanços e contributos, prestados pelas melhores mentes da Física actual, tudo se resume a comprovar pelo método de obervação e experimental. Algo que se recusa a acontecer com menos intensidade que a ansiedade de quem se apaixona por esta teoria.

Aos Ombros de Gigantes

Para começar o ano vou falar um bocado de um livro que comprei há pouco tempo: Aos Ombros de Gigantes (curiosamente a FNAC parece pensar que o título do livro é Aos Ombros dos Gigantes). O livro é coligido e comentado por Stephen Hawking (recentemente completou 70 anos) e pretende ser uma colecta de textos de Física e Astronomia que revolucionaram as ciências de onde brotaram assim como o mundo do qual faziam parte estes homens.

Olhando para o índice é mais do que claro que a selecção de textos é mesmo muito boa, mas sentimos que falta alguém muito importante na escolha destes gigantes.

 

Seja como for, talvez seja importante saber um bocado da história do título deste livro: é uma das frases mais conhecidas na história das ciências e como tal está sujeita a vários tipos de enganos e más interpretações.

Tanto quanto sei a primeira aparição desta ideia remonta ao século XII e a pessoa por detrás da versão original do aforismo “nanos gigantium humeris insidentes”, qualquer coisa como anões apoiados nos ombros de gigantes, é Bernardo de Chartres. Um filósofo natural seguidor das correntes neo-platónicas.

Ao longo dos tempos várias pessoas repetiram esta ideia para exprimir o evidente facto que o progresso científico ocorre de uma forma gradual durante largos períodos de tempo e que toda uma comunidade de pessoas (e a meu ver são os grupos que compõem esta comunidade que são os verdadeiros gigantes) dá o seu contributo.

 

 

A pessoa mais famosa de todas a dizer isto é Newton (Carlos Fiolhais parece pensar que Newton é a primeira pessoa a exprimir esse sentimento) quando numa carta a Robert Hooke diz o seguinte, citando o nome de Descartes (o tal gigante que está em falta):

What Descartes did was a good step. You have added much several ways, and especially in taking the colours of thin plates into philosophical consideration. If I have seen a little further it is by standing on the shoulders of Giants.

Os cientistas cujos textos foram escolhidos por Hawking são:

  • Nicolau Copérnico com o As Revoluções das Orbes Celestes (Livro I).
  • Galileu Galilei com Diálogo sobre Duas Novas Ciências.
  • Johannes Kepler com o Harmonias do Mundo (Livro V).
  • Isaac Newton com Princípios Matemáticos da Filosofia Natural.
  • Albert Einstein com O Princípio da Relatividade.

 

Ainda não li…

Medições em Mecânica Quântica

Ao perscrutar o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função {J(T,\nu)} derivada por Planck.

No que segue vou fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica e depois fazer uma exposição dos resultados desta nova experiência e quais as suas implicações para os Fundamentos da Mecânica Quântica.

— 1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente {E=J(T,\nu)}.

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de {J(T,\nu)}.

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, na verdade não era uma lei era mesmo um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era nada satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinha uma existência física real.

— 1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos Experimentais de Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

  • A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
  • A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
  • Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões. Para valores menores de frequência não se observava a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, um sinal de que novas ideias eram necessárias em Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tem um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética se emite e absorve discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

O que Einstein tinha feito era dar um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vou fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 2. Teoria Quântica —

Muito mais haveria a dizer sobre a história da Teoria Quântica, e acreditem que será mesmo, mas temos que fazer um fast forward neste post e ir directos ao que nos interessa.

A chamada primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

No contexto da revolução quântica que estava a ocorrer Schroedinger propôs a seguinte equação:

\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi (\vec{r},t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\Psi (\vec{r},t)

Se {\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\phi(t)} deduz-se que

\displaystyle E\psi (\vec{r})=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right)\psi (\vec{r})

desde que se identifique {\psi} seja uma função própria de {i\hbar\frac{\partial}{\partial t}} com valor próprio {E}.

Com esta equação é possível determinar, em princípio, a função {\psi} para vários tipos de potencial mas a interpretação {\psi} tem que ser obtida de outra forma.

Tal foi conseguido por Born que nos diz que {\psi} é uma amplitude de probabilidade. Quer isto dizer que se nós quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos a partícula quântica na posição {\vec{r}} esta é proporcional a {|\psi|^2}.

O que isto quer dizer é que fisicamente o que tem sentido é {|\psi|^2} e não {\psi}. Dito de outra forma: {\psi} não está acessível experimentalmente.

— 3. 2011 —

Passando para 2011 temos os seguintes resultados experimentais Direct measurement of the quantum wavefunction e Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer e segundo os abstract os resultados alcançados são os seguintes (as expressões em negrito devem-se a mim):

  • Direct measurement of the quantum wavefunction

The wavefunction is the complex distribution used to completely describe a quantum system, and is central to quantum theory. But despite its fundamental role, it is typically introduced as an abstract element of the theory with no explicit definition. Rather, physicists come to a working understanding of the wavefunction through its use to calculate measurement outcome probabilities by way of the Born rule. At present, the wavefunction is determined through tomographic methods which estimate the wavefunction most consistent with a diverse collection of measurements. The indirectness of these methods compounds the problem of defining the wavefunction. Here we show that the wavefunction can be measured directly by the sequential measurement of two complementary variables of the system. The crux of our method is that the first measurement is performed in a gentle way through weak measurement so as not to invalidate the second. The result is that the real and imaginary components of the wavefunction appear directly on our measurement apparatus. We give an experimental example by directly measuring the transverse spatial wavefunction of a single photon, a task not previously realized by any method. We show that the concept is universal, being applicable to other degrees of freedom of the photon, such as polarization or frequency, and to other quantum systems ? for example, electron spins, SQUIDs (superconducting quantum interference devices) and trapped ions. Consequently, this method gives the wavefunction a straightforward and general definition in terms of a specific set of experimental operations. We expect it to expand the range of quantum systems that can be characterized and to initiate new avenues in fundamental quantum theory.

 

  • Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer

    A consequence of the quantum mechanical uncertainty principle is that one may not discuss the path or ?trajectory? that a quantum particle takes, because any measurement of position irrevocably disturbs the momentum, and vice versa. Using weak measurements, however, it is possible to operationally define a set of trajectories for an ensemble of quantum particles. We sent single photons emitted by a quantum dot through a double-slit interferometer and reconstructed these trajectories by performing a weak measurement of the photon momentum, postselected according to the result of a strong measurement of photon position in a series of planes. The results provide an observationally grounded description of the propagation of subensembles of quantum particles in a two-slit interferometer.

    As frases a negrito não são uma contradição experimental aos preceitos teóricos da Teoria Quântica no entanto indicam que se calhar estamos prestes a ter que repensar certos aspectos relacionados com a interpretação da Teoria Quântica.

    O que estes investigadores fizeram foi medir propriedades complementares de um ensemble de sistemas quânticos (e atenção que estas medidas não são simultâneas!) através da técnica de weak measurement (uma referência menos técnica mas mais inexacta é weak measurement) e depois calcular as médias das propriedades que lhes interessavam.

    Assim sendo não existe nenhum ataque directo à interpretação ortodoxa da Mecânica Quântica, mas presumo que a discussão destes resultados irá resultar em coisas muito boas para a Física.

    Para mais informações sobre isto recomendo a leitura do seguinte post: Watching Photons Interfere: “Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer”

     

 

Sobre a Física de Aristóteles

Tal como digo na minha página de introdução ao longo dos meus posts neste blog tenciono falar um pouco sobre a história da Física e da Matemática. Neste contexto decidi reciclar um texto que escrevi na altura em que estava na faculdade para a disciplina de História das Ideias em Física.

O objectivo deste trabalho era apresentar na forma de diálogo uma síntese sobre a teoria de Aristóteles sobre a organização do Cosmos. Este texto que agora apresento é o que escrevi. Tem algumas gralhas e erros, mas na altura em que o escrevi gostei do resultado final.

Deixo-o então aqui, neste nosso humilde espaço, de modo a que possa ser útil a alguém e que sirva também como mote para outros posts.

— Diálogo sobre a Física de Aristóteles —

O sol alongava-se no céu tardio. Um homem de aspecto distinto era seguido por um grupo de jovens. Fala e gesticula em tom de conclusão e dá por terminada a lição. Excepto um todos os jovens dispersam. Avança e interpela o homem:

É a primeira lição sua que assisto e gostaria de melhor compreender as suas ideias sobre o que nos rodeia.

Pois bem, jovem; fala e veremos o que poderei fazer. Se me for possível ajudar conte comigo; caso contrário desde já as minhas desculpas… para mim o que nos rodeia é um Cosmos. Algo racional que pode ser compreendido e explicado de forma racional. É um Cosmos hierarquizado em que cada ser procura realizar a sua natureza. É finito e centrado na terra…

Mais porquê a terra? Porque não um outro astro qualquer?

Porque é lógico que assim seja. Tudo no Cosmos procura realizar a sua natureza não se esqueça disto: ser-nos-á útil mais a frente. Qual a coisa mais distante que pode ver?

As estrelas. Todas as noites lá estão elas a iluminar o seu nocturno.

Você mesmo disse! Todas as noites? e como sabe isso?

Já desde os registos mais antigos onde são compiladas que nada nelas muda…

Nada?! Tem a certeza? Pense lá bem.

…Tem razão. Nada excepto as posições que vão ocupando noite após noite. Movem-se como um todo de modo cíclico.

Recapitulando: desde sempre que nós vemos as mesmas estrelas executando ciclicamente os mesmos padrões nos céus? O estudante anuiu.  Então o que será mais razoável inferir sobre onde elas se encontram? O que será tão perfeito que lhes permita estar lá desde sempre a movimentarem-se tão regularmente?

Como já muitos o disseram, devem estar incrustadas numa superfície esférica. Mas por que é essa a configuração geométrica mais perfeita?

Em primeiro lugar porque todos os seus pontos estão a mesma distância do centro. Não tem começo ou fim, a sua ordem é a mesma do cosmos: é eterna.

Mas porquê que é a terra o centro do Cosmos?…

Paciência que já lá chegaremos. O Cosmos é hierarquizado. Mas qual será a sua hierarquia? Por acaso andaram misturados seres perfeitos com seres imperfeitos?

É óbvio que não!

Há bocado disseste que as estrelas são eternas e inalteráveis. Não serão esses os atributos do que é perfeito? A nossa volta só há corrupção, geração, mudança… será isto perfeito?

Não!

O que podemos concluir sobre esses dois mundos?

São radicalmente diferentes…

Acharias então natural que mundos tão diferentes fossem compostos do mesmo modo?

Não. De modo algum pode o que compõe o nosso mundo ser o que compõe as estrelas…

Até agora só falamos das estrelas, mas nos céus também há os planetas. Também eles lá estão desde sempre com os mesmo movimentos cíclicos. Pelo que já foi dito também eles são perfeitos. Assim como as estrelas, também os planetas são organizados nas suas esferas celestes.

Então se bem percebi, todas estas esferas são concêntricas, e a Lua deverá ser a primeira delas; a que marca a diferença entre o nosso mundo e o mundo celeste.

Isso mesmo! Da Lua em diante os corpos são compostos de um elemento especial que chamaremos de éter. Mas do que será composto o nosso mundo? Tal como Empédocles, eu digo que é composto por quatro elementos: terra, ar, fogo e água. Todos estes elementos estão agrupados nas suas esferas. A primeira é a esfera da terra, acima dela está a da água, mais acima está é do ar, e a última esfera do mundo a que chamaremos sub-lunar é a do fogo.

Mas da maneira como descreve o mundo sub-lunar ele deveria ser estático…

De facto deveria, se não fosse perturbado. Mas o movimento dos corpos celestes faz com que o fogo desça até as outras esferas misturando os elementos. É dessas perturbações e misturas que nasce a mudança no nosso mundo. Agora vamos concluir que a Terra é esférica: quando ocorrem eclipses lunares a sombra que a Terra projecta sobre a Lua é sempre curva. Do alto duma montanha vê-se mais longe que do seu sopé. E para finalizar: o facto de vermos estrelas diferentes consoante a nossa localização. Tudo isso nos diz que a Terra é esférica.

Sim… realmente basta saber um pouco de geometria para essa conclusão ser necessária.

Diga-me, como se comportará algo que é composto maioritariamente por terra quando for deixado por si só.

Mover-se-á naturalmente para o centro da esfera da terra.

Consoante a sua localização, o que ocorreria de diferente se largasse uma pedra?

Nada de diferente ocorreria. A pedra cairia sempre na vertical.

Ou seja: cairia sempre dirigida ao centro da Terra. Mas não disseste há bocado que algo composto maioritariamente por terra procuraria, quando deixado por si só, ir ao encontro do centro da esfera da terra? – O estudante anuiu.– Então o que concluis?

…Que os dois centros coincidem. Ou por outras palavras que o centro da Terra é o centro do Cosmos!!

Bravo! Mas podemos também concluir que forçosamente a Terra está em repouso. Caso a Terra se movesse as nuvens, as pedras, ficariam para trás ocupando os seus lugares nas suas esferas. Como não vemos tal a acontecer. a Terra não se move. Chamaremos a esse movimento vertical que referiste o movimento natural no mundo sub-lunar. No mundo supralunar o movimento natural ou é circular ou é o resultado da composição de movimentos circulares. Aos movimentos que não são naturais chamaremos violentos. Estes últimos só ocorrem no mundo sub-lunar e necessitam de um motor.

Tem razão! Basta olhar para o nosso mundo para ver que o movimento de todas as coisas quando deixadas por si só é vertical: pedras que caem, a chuva quando cai das nuvens, o fogo a ascender duma fogueira… Mas haverá algum tipo de lei que rega este movimento?

Tudo o que temos de fazer é raciocinar. Imaginemos dois corpos suspensos duma mesma altura, mas tendo pesos diferentes. O mais pesado tem um maior desejo a dirigir-se para o centro da Terra, como tal quando embater no solo, fá-lo-á com maior velocidade. Pensemos agora neste mesmo corpo a ser largado na água da mesma altura. Como a água é mais densa opõe uma maior resistência ao movimento e assim o corpo chegará ao fim do trajecto com uma velocidade menor.

Ou seja: a velocidade de um corpo, quando se move naturalmente, é directamente proporcional ao peso do corpo e inversamente proporcional à resistência do meio.

Bravo!! É isso mesmo!! Ou dito de modo equivalente: um corpo mais pesado largado da mesma altura que um mais leve chegará ao solo primeiro. E quanto mais resistente for o meio mais tempo levará o corpo a percorrer o trajecto.

Então, mestre, é aqui que a Matemática entra nas suas explicações?

Não! A Matemática não entra nas minhas explicações. Só a lógica o faz. A Matemática trata das formas puras e nosso mundo a forma aparece sempre associada a matéria. Esta como já vimos é impura. Se queremos conhecer o que nos rodeia não será a matematizar. Mas sim observando e usando a Razão. O que temos nós no mundo das formas que impeça a existência do vazio? Nada!! E no entanto no nosso mundo ele é absurdo. Qual seria a velocidade de um corpo no vazio?

O vazio, a existir, não oporia qualquer resistência ao movimento… Então a velocidade de um corpo seria infinita… Tal conceito é repugnante…

O vazio não existe. O espaço está sempre associado a matéria. Quando um finda também finda o outro…

Ah!! E por isso o Cosmos é finito! A matéria finda na estrela das fixas; então para lá dela não há espaço! Não faz sequer sentido em falar para lá dela!!

É isso mesmo! Infelizmente a conversa terá que ficar por aqui. É tarde e tenho muito há fazer. Adeus! Até a próxima!

Adeus mestre e obrigado!

A Lua vogava pelo céu estrelado. O aluno contemplava o céu maravilhado; não pelo espectáculo em si, mas porque sentia que começava a compreendê-lo.

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